李慧玲,张思宇,方戈亮

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院,沈阳 110034)

2014年,Johnson提出了以黑洞作为热机工质的概念[1]。这一开创性工作引起了很多关注,继而Johnson又对Gauss-Bonnet黑洞和Born-Infeld AdS黑洞等为工质的全息热机进行研究[2-6],并得到了热机做矩形循环时的精确效率公式[3]。除此之外,黑洞热机也被推广到许多其他黑洞中。2016年,Bhamidipati等[7]对Dilatonic Born-Infeld黑洞热机进行研究;2017年,三维带电BTZ黑洞的全息热机被研究,卡诺周期的结果被扩展到三维时空[8];2019年,朱轩然[9]对全息热机的矩形循环效率进行研究。

在爱因斯坦的广义相对论中,引力子是一个无质量粒子。在Kastor[10]工作的启发下,Chabab等[11]通过将引力子质量解释为热力学变量这一思想,提出了一个包含质量项的热力学第一定律,并建立了一个新的斯马尔公式。本文研究了dRGT质量引力中的一个黑洞,其中引力子质量被视为一个热力学变量,以引力子势作为其共轭量,在此基础上,对以其为工质构造的热机进行研究。

1 dRGT质量引力黑洞

dRGT质量引力黑洞时空线元为[11]

(1)

(2)

(3)

选取参数α=1,β=2,c=1,代入式(3),得

(4)

定义v=2rh[12],可以得到P和v的关系式为

画出P-V图像,如图1所示。其中Q=0.5,α=1,β=2,c=1,T值从上到下依次减小,间隔为0.001 26,从上到下依次取T为0.065 04,0.063 78,0.062 52,0.061 26,0.06。

图1 压强P与体积V的关系图Fig.1 Relationship between pressure and volume

随着压强的变化,在大黑洞和小黑洞之间存在一阶相变,类似范德瓦尔斯液气系统。由P-V图像可以看出等温线复杂,这使选取等温线建立卡诺循环比较繁琐[9]。Johnson提出了由2个等体过程和2个等压过程组成,在P-V图像上呈现为矩形的循环[1],如图2所示。

图2 矩形循环P-V图 Fig.2 Rectangular cycle P-V diagram

2 热机的卡诺循环

图3 热机循环的流程 Fig.3 The flow of the engine cycle

图4 卡诺循环的P-V图Fig.4 Carnot cycle P-V diagram

因为V1=V4,V2=V3,所以卡诺循环的效率为

(5)

其中:TH是的高温热源;TC是低温热源,二者存在温度差使热机工作。由式(5)可以看出,卡诺热机的效率只取决于2个热源的温度。根据式(3)得到

图5和图6中取Q=0.5,α=1,β=2,c=1,S1=S4=3,S2=S3=5,P1=P2=5,P3=P4=3。由图像可观察到在卡诺循环中,TC随着电荷Q的增加在减小,而热机的效率却随着电荷Q的增加而增大。

图5 低温热源与电荷的关系图Fig.5 Relationship between low temperature heat source and charge

图6 卡诺循环的效率与电荷的关系图Fig.6 Relationship between efficiency and charge of carnot cycle

3 热机的矩形循环

吸收的热量为

同理,可求放出的热量为

热机的效率为

以上用2种方式求解的热机效率结果一致,Johnson提出效率公式[3]对于dRGT质量引力黑洞是成立的,并把矩形循环的效率与卡诺循环的效率对比,作出η-Q图像。其中Q=0.5,α=1,β=2,c=1,S1=S4=3,S2=S3=5,P1=P2=5,P3=P4=3。图7上面曲线为全息热机的卡诺效率曲线,下面曲线为矩形循环效率曲线。图8为矩形循环和卡诺循环的效率比值与电荷Q的关系图。

图7 热机循环效率与电荷的关系Fig.7 Relationship between cycle efficiency and charge of heat engine

图8 两种循环的效率比值与电荷的关系图Fig.8 Relationship between efficiency ratio and charge of two cycles

由图7可以看出,卡诺循环的效率曲线始终在矩形循环效率曲线上方,说明等电荷时,卡诺循环效率大于矩形循环效率。由图8可以看出,同等条件下,矩形循环效率与卡诺循环效率的比值小于1,说明矩形循环的效率小于卡诺循环的效率。

4 结 论

本文分别对dRGT质量引力下黑洞全息热机的卡诺循环效率和矩形循环效率进行了研究,并且绘制了关于全息热机效率η与电荷的图像。在卡诺循环中,黑洞所带电荷对黑洞的热机效率有影响,并且黑洞所带电荷越大,热机的有用功越大,以其为工质的热机卡诺效率就越高。同等条件下,卡诺循环的效率始终大于矩形循环的效率,比值小于1,这也符合了热力学第二定律,并且随着电荷的增大,矩形循环与卡诺循环的效率逐渐接近。