刘玉忠,宋宇宁

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院,沈阳 110034)

0 引 言

切换系统是动态混杂系统中的一种重要类型,在控制领域研究中得到广泛关注[1]。时变时滞、不确定性广泛存在于工程系统中,导致系统性能下降。针对这种情况,近年来,越来越多研究者采用鲁棒控制方法,即找到控制器增益K,使得加入控制器后的闭环系统是稳定的同时满足给定的性能指标。但由于传统的鲁棒控制方法所设计的控制器在数字实现过程中会受到其他因素影响(如计算截断误差、字长限制、环境温度变化、元器件老化等),使得控制器对自身参数很小的变化也会很敏感(脆弱性)。实际中的系统可能会受脆弱性的影响导致性能下降甚至无法运行,因此所设计的控制器就需要能够承受一定范围内的参数变化[2-5]。

1997年,Keel等[6]发现传统的控制器设计方法没有考虑到控制器受自身微小变化影响,首次提出“非脆弱”这一概念。2000年,Famularo等[7]基于状态空间方法描述了脆弱性的结构。2004年,Du等[8]研究了不确定结构系统的非脆弱H∞振动控制问题。越来越多的学者开始关注非脆弱这一问题。Yang等[9]考虑线性时不变系统的非脆弱H∞控制器问题并解决了关于非脆弱控制参数求解问题。林瑞全等[10]比较系统地研究了基于鲁棒控制的3种非脆弱控制器的设计问题。罗跃生等[11]、屈百达等[12]研究了含有不确定性的时变时滞系统的非脆弱问题。基于以上研究成果,一些学者开始在不确定时滞系统中加入切换。汪锐等[13]在一类不确定系统的基础上构造切换规则,在加性摄动条件下,运用2种不同方法来解决非脆弱问题及控制器存在充分条件。文献[14-15]中考虑了一类线性切换系统的非脆弱问题,并给出了满足H∞控制的控制器存在的充分条件。

本文考虑一类不确定变时滞切换系统非脆弱H∞控制问题,将凸组合方法和单李雅普诺夫函数方法结合,利用不等式放缩引理,给出满足H∞控制的矩阵不等式,进一步利用Schur补引理得出线性矩阵不等式,即满足H∞控制的充分条件并用数值实例仿真验证了定理的有效性。

1 问题的描述

考虑一类含有不确定性的时变时滞切换系统:

(1)

其中:x(t)∈n为该系统的状态变量,z(t)∈q为系统的受控输出变量;Ai,Adi,Bi,Di,Ci是已知适维常矩阵;ΔAi(t),ΔAdi(t)为系统的不确定项,满足如下形式:

非脆弱状态反馈控制器满足如下形式:

ui(t)=(Ki+ΔKi)x(t)

(2)

其中:Ki为控制器确定增益;ΔKi表示不确定增益摄动且满足

结合式(1)和式(2)得到如下闭环系统:

(3)

针对这种情况下的系统,本文想要解决的问题是找到不确定变时滞切换系统(1)的非脆弱控制器存在且满足给定H∞性能指标γ的充分条件。

2 主要结论

定义对于任意给定常数γ>0,不确定变时滞切换系统(1)在考虑存在加性摄动形式的状态反馈增益下,可以得到非脆弱状态反馈控制器存在形式,且满足给定常数γ。运用对应切换规则进行系统之间切换,使得系统(1)是可以镇定的,如果存在形如u(t)=(Kσ(t)+ΔKσ(t))x(t)的状态反馈控制器和相应的切换规则σ(t),对于给定的性能指标,闭环系统响应满足以下2个条件:

1)当外部扰动ω(t)=0时,构造对应切换规则,使得系统(1)是渐近稳定的;

2)当系统(1)在t0时刻的初始状态满足x(t0)=0时,下述不等式对于所有非零的ω(t)∈L2[0,T],0≤T<∞成立:

‖z‖2≤γ‖ω(t)‖2

引理1[14]对于任意适维矩阵X和Y,存在正常数ξ>0,使得以下不等式成立:

XTY+YTX≤ξXTX+ξ-1YTY

引理2[16]设x∈q,y∈p,D,E是适维的已知常数矩阵,则对任意适维矩阵F满足FTF≤I,对任意ε>0有

2xTDEy≤εxTDDTx+ε-1yTEETy

定理对于任意给定的性能指标γ,如果对于系统(1)存在对称矩阵X,Wi∈n×n,其中X>0,Wi>0,εi>0,λi>0,μi>0,βi>0和的n个实数,有如下矩阵不等式:

(4)

则当切换系统存在非脆弱状态反馈控制器时,不确定变时滞切换系统(1)是渐近稳定且满足给定H∞性能指标γ,其状态反馈控制器存在形式为

ui(t)=(WiX-1+GiHi(t)Mi)x(t)

注 由于限制d<1,所以[(1-d)λi]和[(1-d)μi]均为正标量。

证明 将式(4)同时左乘和右乘矩阵diag{P,…,I},代入Ki=WiX-1,由Schur补引理可将矩阵不等式(4)转化为如下形式:

(5)

其中对任意x(t)∈n/{0},在不等式(5)两边左乘xT(t),右乘x(t)得到

由切换规则可知,对∀t≥0均存在i使得下列不等式成立:

(6)

设{(tk,ik)|i∈;k=0,1,2,…,0=t0≤t1≤…}为对应切换规则在t∈[0,∞)上构成的切换序列,因此构造如下形式的李雅普诺夫函数:

V(x)沿着切换系统轨迹的时间导数为

将闭环系统(2)代入,再根据引理1和2整理得

当ω(t)=0时,由式(6)可得

因此,当ω(t)=0时,不确定时变时滞切换系统(1)在切换规则下是渐近稳定的。

下证不确定时变时滞切换系统(1)具有H∞性能γ。

注意到x(t0)=x(0)=0,ω(t)∈L2[0,T],0≤T<∞,利用式(7)可以得到

由此可得J<0。

因此,对所有非零的外部干扰输入ω(t)∈L2[0,T]和允许范围内的不确定性,均有‖z‖2≤γ‖ω(t)‖2。

3 仿真算例

给定2个不确定时变时滞连续子系统组成变时滞线性切换系统(1),其中

解得:ε1=0.046 9,ε2=0.283 4,β1=1.093 0,β2=0.016 9,μ1=1.692 1,μ2=0.815 4,λ1=0.513 0,λ2=0.552 3。从而得到

切换规则为

4 结 论

针对一类含有不确定性的变时滞切换系统的非脆弱H∞控制问题,综合利用凸组合方法和单李雅普诺夫函数方法,进而利用不等式引理对导数项进行放缩得到不含时变时滞的矩阵不等式,且不等式只与时滞导数上界有关,得到不确定变时滞切换系统(1)满足非脆弱H∞控制的充分条件和非脆弱控制器的具体形式,并通过实例进行数值仿真验证了定理的实用性和有效性。针对状态反馈控制器,本文的系统定理有效,对于其他类型系统的非脆弱控制器的设计还有待进一步研究。