唐 锋，王 勇,2，丁 虎, 陈立群

(1.上海大学 力学与工程科学学院，上海 200444；2.江苏大学 汽车工程研究院，江苏 镇江 212013)

Smith[2]首次提出了惯容器的概念，惯容器是一种具有两个相对自由运动端点的装置，其产生的作用力与两端的相对加速度成比例，该比例系数称为惯质系数且单位为千克。惯容器具有质量放大作用，能够提供比自身质量大的惯质效应，可以增加承载系统的惯性而不增加其承载质量。由于惯容器特有的力学特性，其已被广泛运用于各种工程领域且被视为一种有效的减振装置，如汽车悬架系统[3]，铁道车辆悬架系统[4-5]，建筑桥梁减振系统[6-7]，动力吸振系统[8-9]与隔振系统[10]。

在隔振领域，Chen等[11]证明了惯容器可以使系统的固有频率降低；Hu等[12]采用H∞与H2两种方法优化了五种惯容隔振器的结构参数，研究表明惯容隔振器可以有效降低传统线性隔振器的传递率峰值；Wang等[13]在此基础上研究了八种惯容隔振器的隔振性能，定义了四个隔振性能评价指标对比得出一种最优结构。在上述研究中，通过增加附加弹簧以及改变惯容器、弹簧与阻尼器的布置形式，惯容隔振器可以有多种结构形式，最简单易行的是三元件并联式惯容隔振器，其所需结构元件较少且安装方便，三元件并联式惯容隔振器能进一步拓宽传统线性隔振器的隔振频带，但高频隔振性能显著恶化，且惯质系数越大高频隔振性能越差。Chen等[14]提出了理想天棚惯容器，其一端与承载质量相连另一端与惯性参考系相连，能改善被动惯容隔振系统在高频的隔振性能。理想天棚惯容器无法通过被动结构形式实现，但可通过设计半主动惯容器并采取相应的半主动控制策略来实现。

半主动惯容器的惯质系数在工作过程中可进行调节，其结构实现形式有多种，如在滚珠丝杠式惯容器中安装可控惯性飞轮[15]或改变液力式惯容器的管径[16]，当工程结构装置采用半主动惯容器后，其减振性能得到进一步提高[17-18]。王勇等[19]提出了相对加速度-相对速度(relative acceleration relative velocity,RARV)控制的半主动惯容隔振器，研究了三元件并联式与串联式半主动惯容隔振器的动态性能，结果表明并联式隔振效果更好，且比被动惯容隔振器具有更好的隔振性能。随后Wang等[20]针对并联式半主动惯容器，又提出了相对加速度-绝对速度策略(relative acceleration absolute velocity, RAAV)，以更好地改善惯容隔振器的隔振性能。但采用这两种控制策略后，半主动惯容隔振器的高频隔振性能仍没有得到显著改善，为此本文采用基于绝对-相对加速度切换控制的天棚惯容控制策略，调节半主动惯容器的惯质系数在最大与最小值之间切换，来近似模拟理想天棚惯容器的力学特性，以提高惯容隔振器的高频隔振性能。

本文研究的惯容隔振器采用最基本的三元件并联式结构，分析天棚半主动惯容隔振器在基础简谐位移激励下的动态特性，运用平均法求解系统的近似解析解，并用数值解进行验证。定义四个隔振性能评价指标来评价半主动惯容隔振器的隔振性能，揭示可变惯质系数对系统隔振性能的影响规律，并与被动惯容隔振器、RARV与RAAV半主动惯容隔振器进行对比分析。

1 天棚半主动惯容隔振器

理想天棚惯容隔振器如图1(a)所示，与其等价的天棚半主动惯容隔振器如图1(b)所示。半主动惯容器的惯质系数为b且可进行调节，阻尼器的阻尼系数为c，弹簧刚度为k，x为质量m相对于静态平衡位置的位移，外界激励为基础简谐激励且可用y=ymcos(ωt)表示。

(a)理想天棚惯容隔振器

一种半主动液力式惯容器如图2所示，其结构包括由缸体、活塞和缓冲块构成的主体以及由软管、电磁阀、两种不同管径的螺旋硬管构成的惯质系数调节装置。油液经细长管从缸体的一个腔流向另一个腔时会产生惯性效应[21]，通过控制两个电磁阀的开关调节油液流通的管道便可改变液力式惯容器的惯质系数。半主动惯容器在信号采集、信号传输、控制器计算和作动器执行过程中会有一定的调节响应时间[22]，时滞在一定情况下会恶化系统动态特性，但是选取适当的时滞反馈增益可以减小或消除时滞带来的不利影响[23]。本文为简化分析，考虑半主动液力式惯容器在调节惯质系数时是实时快速地调节，不考虑时滞的影响，建立天棚半主动惯容器在基础简谐位移激励下的动力学方程

图2 半主动液力式惯容器

mx″=-b(x″-y″)-k(x-y)-c(x′-y′)

(1)

天棚惯容控制策略采用基于绝对-相对加速度切换的控制策略，半主动惯容器的惯质系数调节如下

(2)

式中:bmax，bmin分别为可控制调节的最大与最小惯质系数。定义x-y=z，式(1)和式(2)可以化简为

(3)

(4)

定义无量纲参数

(5)

对于弱非线性系统，可以认为系统的振动幅值和相位是缓慢变化的，即其对时间的导数是小量，又从式(4)可知系统是分段的，因此适合采用平均法[24]求解系统的近似解析解，首先假设解的形式为

z=zmcosφ

(6a)

z′=-zmωsinφ

(6b)

式中：φ=ωt+θ，将式(6a)和式(6b)对时间t进行求导，得到以下表达式

(7a)

(7b)

结合式(6b)和式(7a)，结合式(3)和式(7b)分别得到

(8a)

(8b)

其中

cosφ-2ζωωnzmsinφ-ω2ymcos(φ-θ)

(9)

通过式(8a)和式(8b)可以得到广义振幅zm和相位θ的表达式

(10)

根据平均法思想，慢变量振幅和相位可以通过将式(10)右侧在一个周期内积分得到

(11)

将式(6a)代入式(4)得到

(12a)

(12b)

其中

(13)

(14)

2 动态响应求解

式(11)中可控惯质比δ的积分区间与相位β有关。定义相位β的取值区间为[0, 2π)，当相位β分别在四个象限取值时，cosφ和cos(φ-β)曲线的相对位置如图3所示。

(a)β∈(0, π/2)

根据cosφ和cos(φ-β)的符号变化情况，可控惯质比δ的积分区间可以分为八种情况，以此可得稳态解的幅值和相位。根据式(11)和八种情况下的可控惯质比δ的积分区间，天棚半主动惯容隔振器的幅频特征方程如下

(I)0<β<π/2

(15)

(II)π/2<β<π

(16)

(III)π<β<3π/2

(17)

(IV)3π/2<β<2π

(18)

(V)β=0

δ=δmax

(19)

(VI)β=π/2

(20)

(VII)β=π

δ=δmin

(21)

(VIII)β=3π/2

(22)

本文中基础简谐激励振幅ym= 0.02 m，天棚半主动惯容隔振器结构参数如表1所示。

表1 天棚半主动惯容隔振器结构参数

为验证平均法得到的近似解析解的精确性，将其与数值解结果对比，天棚半主动惯容隔振器的相对位移的解析解和数值解结果对比如图4所示。数值结果通过结合式(3)与式(12a)，运用定步长的4阶龙格库塔方法得到。从图中可以看出解析解与数值解基本吻合，从而可以得出解析解是精确可靠的。

图4 天棚半主动惯容隔振器相对位移数值解与解析解对比 (δmax=1, δmin=0.5)

3 隔振性能分析

令质量m的位移幅值为xm，绝对位移传递率Ta定义如下

(23)

定义四个隔振性能评价指标来评价系统的隔振性能：绝对位移峰值xmp为系统共振时的振幅，是系统可以达到的最大位移；绝对位移传递率峰值Tap为全频域绝对位移传递率的最大值；隔振频带ω0为绝对位移幅值xm小于基础简谐位移激励幅值zm的频带范围，隔振器在隔振频带内才对振动起隔离作用；高频带绝对位移传递率Talim为激励频率远大于系统的固有频率时绝对位移xm与激励幅值zm的比值，描述的是隔振器的高频隔振性能。

需要注意的是在计算四个隔振性能评价指标前首先要求解相位β，不同惯质比下相位β的取值如图5所示。在求解几个性能评价指标时，当β在区间(3π/2,2π)时应当选择式(18)，同理当β在区间(π,3π/2)时应当选择式(17)。

(a)δmax=1

天棚半主动惯容隔振器的四个隔振性能评价指标推导过程如下所示：

绝对位移x由以下公式求得

x=y+z=xmcos(ωt+γ)

(24)

(25)

(26)

绝对位移峰值和绝对位移传递率峰值所对应的β取值范围在(3π/2, 2π)，故将式(18)两边对激励频率进行求导，得到

(27)

cos2θ+sin2θ=1

(28)

由绝对位移峰值导数为0，对式(23)求导得到

(29)

结合式(18)，(25)，(27)～(29)可以求得绝对位移x的最大振幅，即绝对位移峰值xmp。

则绝对位移传递率峰值为

(30)

对于隔振频带，有

xm=ym

(31)

代入式(25)可以得到

(32)

式(32)结合式(18)可得隔振频率ω0。

对于高频带绝对位移传递率，所对应的β取值范围为(π,3π/2)，由式(17)可以得到当频率趋于无穷大时相对位移振幅的极限值

(33)

(34)

(35)

将式(33)～(35)结合式(14)和式(23)可得高频带绝对位移的传递率Talim

(36)

当最小惯质比δmin与最大惯质比δmax取不同值时，天棚半主动惯容隔振器的绝对位移与绝对位移传递率分别如图6与图7所示。

图6 δmax= 1，δmin取不同值时，天棚半主动惯容隔振器绝对位移与绝对位移传递率

图7 δmin= 0.05，δmax取不同值时，天棚半主动惯容隔振器绝对位移与绝对位移传递率

从图6可以看出当最大惯质比δmax固定时，随着最小惯质比δmin增加，绝对位移峰值和绝对位移传递率峰值减小，高频带的绝对位移幅值和绝对位移传递率增大，隔振频带稍有扩大。图7显示当最小惯质比δmin固定时，随着最大惯质比δmax增加，绝对位移峰值和绝对位移传递率峰值降低，隔振频带扩大，高频带绝对位移传递率无明显变化。

4 隔振性能对比研究

为了明确天棚半主动惯容隔振器的优势，将其分别与被动惯容隔振器，RARV、RAAV半主动惯容隔振器进行对比。在对比时，天棚半主动惯容隔振器的最大惯质比δmax= 1，被动惯容隔振器的惯质比δ与天棚半主动惯容隔振器的最小惯质比δmin相等；在与RARV、RAAV半主动惯容隔振器对比时，取相同的δmax与δmin。

4.1 与被动惯容隔振器对比

选取天棚半主动惯容隔振器的最大惯质比δmax= 1，最小惯质比δmin= 0.05，被动惯容隔振器的惯质比δ分别取1和0.05，其绝对位移与绝对位移传递率对比如图8所示。

图8 天棚半主动与被动惯容隔振器的绝对位移与绝对位移传递率对比

从图8可以看出天棚半主动惯容隔振器的绝对位移共振峰值和隔振频率更接近惯质比与其最大惯质比δmax相等的被动惯容隔振器，高频带绝对位移传递率更接近惯质比与其最小惯质比δmin相等的被动惯容隔振器。

图9比较了天棚半主动惯容隔振器和被动惯容隔振器的四个隔振性能评价指标。图9(a)为绝对位移峰值的对比图，图9(b)为绝对位移传递率峰值的对比图，当天棚半主动惯容隔振器的最大惯质比δmax= 1，最小惯质比δmin和被动惯容隔振器的惯质系数δ一同改变时，随着δmin的增加，两者的绝对位移峰值和绝对位移传递率不断减小，差值逐渐变小；图9(c)为隔振频率的对比图，随着最小惯质系数δmin和被动惯容隔振器的惯质系数δ的增加，两者的隔振频带均扩大，但天棚半主动惯容隔振器的隔振频带变化很小；图9(d)为高频带绝对位移传递率对比图，两者吻合，变化呈增长趋势。

(a)绝对位移峰值xmp

4.2 与其他两种半主动惯容隔振器对比

本节以δmax= 1，δmin= 0.05为例，比较三种半主动惯容隔振器的隔振性能。从图10可以看出三种半主动惯容隔振器的隔振频带是比较接近的；对于高频带绝对位移传递率，天棚半主动惯容隔振器较另外两种策略而言具有明显优势。

图10 三种半主动惯容隔振器的绝对位移和绝对位移传递率对比图

从图11可以看出，当最大惯质比δmax为固定值时，随着最小惯质比δmin的减小，天棚半主动惯容隔振器的高频带绝对位移传递率也减小。整体上看，天棚半主动惯容隔振器的绝对位移峰值以及绝对位移传递率峰值高于RARV与RAAV半主动惯容隔振器，隔振频率介于二者之间且更接近隔振频率较低的RAAV半主动惯容隔振器，在高频带的绝对位移传递率明显低于其他两种半主动惯容隔振器。所以想要改善系统在高频的隔振性能，应选择使用天棚半主动惯容隔振器。

(a)绝对位移峰值xmp

5 结 论

本文根据天棚惯容器的力学特性，提出了基于绝对-相对加速度切换控制的天棚惯容控制以达到近似天棚惯容器的效果方法，研究了可变惯质系数对系统隔振性能的影响规律。通过与被动惯容隔振器、RARV与RAAV半主动惯容隔振器进行对比分析，展现了本结构在高频隔振性能上的优势。研究结果如下：

(1)提出了天棚惯容控制策略，该控制策略下系统为分段动力学系统，使用平均方法解得其动态响应，数值结果验证表明，采用平均法求得的近似解析解可以代表实际的动态响应。

(2)天棚半主动惯容隔振器的低频隔振性能(绝对位移峰值，绝对位移传递率峰值和隔振频带)与最大惯质系数相关，高频隔振性能(高频带绝对位移传递率)与最小惯质系数更为相关。

(3)天棚半主动惯容隔振器在高频的隔振性能与δ=δmin的被动惯容隔振器一致。三种半主动惯容隔振器中，天棚半主动惯容隔振器的高频隔振性能最佳，当其最小惯质系数δmin趋近于0时，其高频传递率趋于0。

(4)天棚半主动惯容隔振器的隔振频带较被动惯容隔振器、RARV半主动惯容隔振器更宽，接近RAAV半主动惯容隔振器；高频带绝对位移传递率普遍低于其他三者。但绝对位移峰值和绝对位移传递率峰值仅低于被动隔振器，高于RARV与RAAV半主动惯容隔振器。