唐和平

【摘要】本文以直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养为导向，以数形结合、化归与转化数学思想为主线，以学生能力的培养为目标，以“点到直线的距离”为例进行主题教学设计，并注重教学要素分析与现代信息技术的使用，构建逻辑连贯的教学过程.

【关键词】距离;核心素养;数学思想;主题教学

《普通高中课程标准（2017年版）》高中阶段的数学核心素养具体确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六方面[1].数学核心素养的给出回答了未来数学教育要“培养什么人”的问题.但无论怎样培养，都需要树立正确的教育观念.从教材层面看，可以通过教师“理解好”教材、“利用好”教材，让数学核心素养“落地生根”;从教学观层面看，可以通过触及数学知识本质、关注学生思维深层次参与的深度教学，让数学核心素养“开花结果”[2];从教学操作层面看，教师要注重教学设计，重视情景创设与问题设计，促进学生对数学本质的理解.《普通高中课程标准（2017年版）》给出了主题教学设计的一般模式：确定主题内容、分析教学要素、编制主题教学目标、设计主题教学流程、设计反思与修改[1].

根据新课标发布后两年多的教学实践，我以“点到直线的距离”为例加以分析说明.

一、教学要素分析

1.教材内容分析

对于平面几何，我们可以对直线进行定量研究.引入平面直角坐标系后，我们用方程表示直线，直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个等式，即二元一次方程.这样，我们可以用代数方法来研究直线上的点，对直线进行定量研究.

2.学情分析

学生在前两节课已经学习了两条直线交点坐标的求法，以及两点间距离的求法，这为本节课求点到直线的距离提供了学习的工具.但学生对直角三角形中“等面积法”求距离使用很少，且多数学生已经遗忘，故要在课前适当复习.

3.重点、难点、核心素养分析

根据点到直线的距离的概念，学生容易想到的是过点作直线的垂线段，所求距离为垂线段的长度，求解思路：写出垂线段所在直线的方程，与已知直线联立成方程组，求出交点坐标即垂足坐标，再利用两点间的距离公式求出结果，这是典型的坐标法.这种思路是重点，但求交点坐标、求距离是难点，学生几乎无法进行运算，故回归到几何的本质，采用几何法——“等面积法”求距离，这是本节课教学的重点.同时要在教学中渗透直观想象、逻辑推理、數学运算的数学核心素养.

4.教学方式分析

本节课通过以下程序：提出问题——分析问题，选择方法——合作交流，解决问题——反思解决问题的过程——优化解决问题的方法——简单应用，巩固知识，设置教学流程.在教学中，教师设置问题，学生通过小组合作、师生合作，探究出求点到直线距离的坐标法，并利用多媒体对图形的变化进行展示，寻找求点到直线的距离的几何法——等面积求距离法，从而顺利推导出点到直线的距离公式.

二、教学流程设计

1.创设情境，提出问题

师：上节课我们已经学习了两点之间的距离公式.如图1所示，已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则两点间的距离P1P2等于多少？

生：P1P2=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

师：任意给出两个点的坐标，可以用代数的方法计算出两点间距离.如果将上述问题中的一个点不变，另一个点的坐标换成一条直线的方程，那么怎样求点到直线的距离呢？即：如图2所示，已知点P0（x0，y0），直线l的方程为Ax+By+C=0，求点P0到直线l的距离d.

设计意图：复习上节课知识，类比提出本节课要解决的问题，体现了知识的延续性.

2.分析问题，选择方法

师：点P0到直线l的距离怎么表示？

生1：过点P0作直线l的垂线，垂足为Q，则线段P0Q的长就是点P0到直线l的距离，如图2所示.

师：很好！怎样求呢？

生2：已知点P0的坐标，求出点Q的坐标即可.

师：怎样求点Q的坐标呢？

生3：由直线P0Q与l的方程联立可求出点Q的坐标.

师：直线P0Q的方程怎样求呢？

生4：点P0坐标已知，只需求出垂线P0Q的斜率kP0Q，再用“点斜式”求出方程即可.因为P0Q⊥l，所以kl·kP0Q=-1，直线l的斜率已知，所以可以求出kP0Q，这样问题就得到了解决.

师：直线l的斜率怎么求？

生5：kl=-AB.

师：他的回答正确吗？

学生讨论.讨论后，发现当B=0，A≠0时，直线l的斜率不存在，但直线l的方程变得更简单，为x=-CA，此时d=x0+CA（如图3所示）;当A=0，B≠0时，直线l的方程为y=-CB，此时d=y0+CB（如图4所示）.

设计意图：让学生学会“以退为进”，这实际上也是转化与划归思想的体现.

5.简单应用，巩固知识

对教材例5的说明：比较简单，直接利用公式求解即可.

对教材例6的说明：它是两点间距离公式、直线方程、点到直线的距离公式、面积公式等综合的应用题.若时间允许，则可以考虑用其他方法求解.

三、教学反思

1.利用层层递进的问题情境，降低思维难度

有人说，课堂提问是课堂教学的灵魂.课堂提问由浅入深，层层推进，环环相扣，学生在教师的引导下，不断发现问题和解决问题.好的提问必然能体现前后知识的连贯性和逻辑性，但解决的问题又揭示了本节课的难点——代数运算.通过探究问题情境，“退”到两点间距离求法的源头，降低了思维难度.

2.利用现代多媒体技术，提升数学核心素养

合理利用多媒体技术，可以提高教学效率.比如，前两种方法的推导只需展示给学生，让其体会推导过程的艰难即可，但多媒体与板书也要结合起来使用，这样才能让学生对重点内容有深刻的印象.比如，第三种方法的推导，教师就需要给出详细的板书，以此培养学生的逻辑推理能力、数学运算能力，进而提升直观想象的核心素养.

3.利用课堂教学的舞台，渗透数学思想方法

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”本节课在推导点到直线距离公式时，利用多媒体展示图形，以形助数，提高了学生的感性认识，学生的动手推导与教师的板书相结合，又提升了学生的理性认识，以此完美地渗透数学思想.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4.

[2]王沛钰，李祎.高中生数学核心素养的培养需树立的几种观念[J].数学通讯，2019（08）：1-3，31.