彭翕成 张景中,2

(1.华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 430079； 2.广州大学 计算科技研究院, 510006)

解析几何的建立，使得几何问题能转化成代数问题，从而按部就班地操作，也可以认为是架构了一座从几何通向代数的桥梁.反之，如何基于解析几何从代数通向几何？这方面的研究，似乎还比较少见.一座桥梁，当然最好是两边互通，而不是单向的.我们研究发现，向量几何，特别是向量恒等式能很好地沟通数形关系.之前的研究[1-10]已详细介绍基于点几何，从几何题出发生成代数恒等式的案例.本文重点介绍如何从代数通向几何.

下面先给出一些代数恒等式(含条件恒等式)，单看这些代数式，可能会觉得枯燥乏味，但认识到这些代数式的几何意义之后，则会改变看法.这样的多角度审视，会使得数学变得丰富多彩.因为本文重点在于介绍代数与几何之间的转化，因此对所给代数式不加证明，请有兴趣的读者自证.

1 一次恒等式

单纯从代数式角度来看，此式实在简单.但若从点几何的角度来看，短短式子，等价于几何命题：四边形中，一组对边平行且相等的充要条件是另一组对边平行且相等.四边形对边平行且相等的充要条件是四边形的对角线相互平分.

详细写出：A-B=D-C⟺A-D=B-C

图1

=(A-B)+(D-C).

图2

(3)如果AB∥CD，此时四边形为梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB+DC表示梯形的中位线定理.

(4)如果AB∥CD，且C、D两点错位(图3)，此时四边形为梯形，AB∥CD∥MN，2MN=AB-DC表示梯形两对角线的中点的连线平行于底边且等于两底差的一半.

图3

图4

几……