王 宁

(北京师范大学附属实验中学 100032)

1 问题的提出

文献[1,2]等都提到了椭圆的一个优美的几何性质：设A,B,C,D,E,F为椭圆上六个点，若AB∥DE且BC∥EF，则AF∥DC(如图1)．此性质是圆锥曲线的Pascal定理[2,3]的一种特殊情形．定理表明：对于同一条圆锥曲线上的六个点A,B,C,D,E,F，如果AB∩DE=M，BC∩EF=N，AF∩DC=P，则M，N，P三点共线．根据射影几何的观点，若AB∥DE且BC∥EF，意味着M，N为两个不同的无穷远点，因此三点共无穷远直线，因此点P也是无穷远点，所以AF∥DC(图1～4)．推广到任意圆锥曲线后，下文中简称此结论为“性质”．

图1 椭圆

“性质”适合作为高中学生课外探究活动的素材．学生利用几何画板或GeoGebra软件可以方便地观察和验证上述结论，并留下深刻印象．但是，他们若想说明其中的道理——特别是当圆锥曲线为双曲线时——是比较困难的．我们的教学和研究体会大致是：

(1)从射影几何的观点看，通过以无穷远点为投影中心的中心投影(即平行投影)，可以把任意椭圆变成圆[2]．如果我们在圆中考虑“性质”(图2)，则证明是简单的.

图2 圆

注意到平行投影的一个性质是将平行线投影成平行线[2]，既然“性质”在圆中成立，它对于所有的椭圆也必然成立．

用这种方法研究椭圆，是学生也可以想到的．但是，(i)虽然在射影几何的观点下，选择空间某点作为投影中心，可以把任何一种圆锥曲线变成圆(借助圆锥截面，学生能够理解这点)，但此变换不能保证把平行线投影成平行线．(ii)如果选择无穷远点为投影中心(平行投影)，则椭圆只能变成椭圆或圆，双曲线只能变成双曲线，抛物线只能变……