李云涛

（中国石油大学（北京） 北京 102249）

1 研究背景与意义

《理论力学》是机械类等工科专业的基础课程，为学生学习后续课程如《材料力学》《机械设计基础》等奠定了必要的基础。《理论力学》具有科学严密性和应用灵活性，可以很好地培养学生逻辑思维能力、抽象简化能力、实践应用能力。

《理论力学》的学习需通过一定量的习题训练才能熟练掌握。目前国内高校普遍采用的教材大多较为经典，市面上已出版多本针对各类教材的课后习题解答。学生极易在文库等网络资源中找到课后习题答案，致使作业抄袭的现象较为普遍。但是，《理论力学》的习题一般具有多变性和灵活性的特点，基于此，教师可以对一些经典习题做出些许变化，或对解题方法做出必要的要求，并以“雨课堂”等网络辅助教学手段推送给学生，在一定程度上可以避免学生不加思考而抄袭作业的现象。

2 习题的多变性和灵活性

《理论力学》习题的多变性体现在，对于同一道题目，可以通过些许的变化，使题目的求解过程和答案发生较大变化，即“一题多变”。例如，对于一些机构，可以增加约束使其成为静力学问题；或是对于一些结构，可以解除部分约束使其成为运动学/动力学问题。当然，也可以改变主动力的作用位置等，对题目做出修改。这样做的好处是在有限题目的基础上，通过对课后习题的变形，将其转化为一道独特的题目，学生很难在网络上搜索到答案。即使搜到原来的题目，也需要加以思考，在充分理解的基础上，对变化后的题目做出解答。当然，如果学生直接抄袭原题解答，在批改作业时也能一眼识别。这就在一定程度上避免了抄袭作业的现象。

《理论力学》习题的灵活性则体现在，同一道题往往有不同的解题方法，即“一题多解”。以动力学题目为例，通常可以采用“动能定理”，或是“动量定理+动量矩定理”，又或者是“达朗贝尔原理”等多种不同的方法作答。而在对动力学题目做运动学分析时，又可以通过点的合成运动，或是对全局运动方程求导等多种方式进行求解。在使用动量矩定理时，也可以对定点取矩，或是对质心取矩，又或者是对瞬心取矩（当瞬心与质心的距离始终不变时）。这样组合起来，每道题就会呈现出更多的解法。而网络上搜到的题目答案，往往只是一种方法，若要求学生采用多种方法求解，那么也能在一定程度上避免抄袭作业的现象。

以下通过一道非常简单的例题加以体现。

3 典型示例

如图1（a）所示，将一个长度L，质量m的均质直杆AB（梯子）置于墙角。现在，我们增加一些条件，使该题目分别变为静力学问题和动力学问题，并通过多种不同方式对其中的动力学问题进行求解。

图1：题目示意图（a）原题（b）受力分析图（静力学问题）（c）受力分析图及速度分析（动力学问题）（d）质心速度（功率方程）

3.1 题目的多变性示例

如果AB杆处于静止状态，则该题为考虑摩擦的静力学问题。此时，该题目设置为：假设墙面光滑，地面粗糙，并已知梯子与地面的静滑动摩擦因数为f，求梯子与水平面夹角 的最小值。

对于该问题，分析时首先绘出受力图，如图1（b）所示，包括重力P，A点的法向力FAN，摩擦力FS，B点处的法向力FB。将库伦摩擦定律作为补充方程，建立FS和FAN的关系，进而建立力系平衡方程求解。当然，一种简便的方法是对FB和FAN的交点C取矩，可一步求解出摩擦力FS，此处不再赘述。

还是图1（a）所示的梯子，若假设墙面和地面均光滑，则AB杆将做平面运动，当AB杆与水平面夹角 时，由静止释放，求释放瞬时AB的角加速度。

如此简单的变化，该题由静力学问题转变为动力学问题，求解过程变得完全不同。分析该问题时，首先仍是绘出受力图。由于地面光滑，如图1（b）所示的受力图中应删去FS，如图1（c）所示。此类动力学问题的求解，可采用动能定理、“动量定理+动量矩定理”等多种求解方式，具体求解思路在3.2中进行阐述。

图1（a）所示的场景，不仅仅能变化成上述的两种题目。例如，同样是静力学问题，可以假设墙面与壁面均粗糙，并已知两处的静滑动摩擦因数，求梯子与水平面夹角的最小值。这样就变成了存在两处摩擦的平衡问题。又例如，对于动力学问题，可以假设AB杆在下落的过程始终与墙面相接触，求即将落地瞬间AB杆的角速度，以及A点的受力。这样不仅考察了动能定理，同时还考察了动量定理和动量矩定理，以及平面运动中求一点加速度的基点法，题目变得更加综合。

3.2 题目的灵活性示例

若墙面和地面均光滑，要求解AB杆由静止释放时的角加速度，则可通过多种方法实现。

方法一：动能定理。假设下降任意时间后，AB与水平面夹角为 ，如图1（d）所示。对于做平面运动的刚体AB，动能一般表示为随质心平动的动能和绕质心转动的定能之和。此时需要表示出质心的速度。而事实上，平面运动刚体动能的表达式，是由绕瞬心做定轴转动刚体的动能推导而来，因此，动能可表示为T=0.5Jc2，其中 是角速度，Jc是AB杆对瞬心的转动惯量，通过平行轴定理可求得为1/3 mL2。由动能定理可知，动能的增加量等于重力做的功即T=0.5mgL(sin-sin)。因此，对等式0.5mgL(sin-sin)=0.5 Jc2的等号两边同时求导，并令 = ，即可求出AB杆在释放瞬时的角加速度。

方法二：功率方程。同样假设下降任意时间后，AB与水平面夹角为 ，此时重力做功的功率为mg·v。其中，v是AB杆质心的速度矢量，其大小为0.5 L。由几何关系知速度v和重力mg的夹角为 ，如图1（d）所示。由功率方程，功率mg·v=0.5mg Lcos等于动能T=0.5 Jc2对时间的导数，题目得解。

方法三：动量矩定理（对质心取矩）。采用该思路的一般解题方法，都是建立质心运动定理和对质心的动量矩定理来求解，同时还需根据已知的A点和B点加速度方向，通过基点法建立AB杆角加速度与质心加速度的关系。对于该题而言，此种解题方法较为繁琐，此处不再赘述。

方法四：动量矩定理（对瞬心取矩）。在刚体平面运动的过程中，若瞬心与质心的距离始终保持不变，则可对瞬心使用动量矩定理。该题目中，瞬心与质心的距离始终为0.5L，满足定理的使用条件。由于A、B两点受力均通过瞬心C，其矩为零，通过对瞬心的动量矩定理可直接列出角加速度与重力之间的关系。相对其他方法而言，该方法仅通过一个方程求解，最为简单。

当然，该题目还可采用达朗贝尔原理（动静法）求解。可见，《理论力学》习题的解题思路较为灵活，在教学过程中可以引导学生尝试不同的解题技巧，加深学生对于知识点的理解和掌握，同时也能更好地培养其逻辑思维能力。

4 结论

《理论力学》习题具有多变性和灵活性。多变性体现在，对于同一道题目，可以对受力情况做些许变化，使题目的求解发生较大变化。灵活性体现在同一道题往往可以有不同的解题思路。本文通过一道简单的例题对这种多变性和灵活性进行了说明。该题目做出些许变化，即可由静力学问题转化为动力学问题。针对该简例的求解方法，可以覆盖平面任意力系平衡方程、考虑摩擦的平衡问题、平面运动、动量定理、动量矩定理、动能定理以及达朗贝尔原理等多个知识点，具有很强的综合性。在日常教学中，将题目加以变化或是要求学生采用多种解题方法求解，可以有效避免学生通过网络搜索答案并不加思考直接抄袭的现象。