甘超一

(华南农业大学资源环境学院2019级环境科学2班 510642))

可以证明冰、水混合物(假设它们之间已经没有热传递，即两者温度已经达到一致)的温度是0℃：因为冰、水混合物的温度≤冰的温度≤0℃；冰、水混合物的温度≥水的温度≥0℃，即

0℃≤冰、水混合物的温度≤0℃

①

所以冰、水混合物的温度=0℃

②

这就是文[1]介绍的一种解题方法——“两边夹(即式①)，夹出美丽的答案(即式②)来”.本文再用例题介绍这种巧妙的解题方法.

一、函数问题

题1 (2016年福建省高一数学竞赛试题第6题)f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=1，且对于任意的x∈R，满足f(x+2)-f(x)≤2,f(x+6)-f(x)≥6，则f(2016)=( ).

A.2013 B.2015 C.2017 D.2019

解C.可得6≤f(x+6)-f(x)=[f(x+6)-f(x+4)]+[f(x+4)-f(x+2)]+[f(x+2)-f(x)]≤2+2+2=6,所以f(x+2)-f(x)=2,f(x+2)=f(x)+2.

再用数学归纳法可证得f(x+2k)=f(x)+2k(k∈N)，所以f(2016)=f(0+2016)=f(0)+2016=2017.

题2若函数cf(x)=x2+bx+c(b,c是常数)同时满足：f(1)=0；∀x∈[1,3],f(x)≤0；f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数，则f(x)的解析式是____.

解f(x)=x2-4x+3.由f(1)=0，可得b=-c-1.

再由f(3)=9+3b+c=6-2c≤0，可得c≥3.

还可检验：当f(x)=x2-4x+3时，∀x∈[1,3],f(x)≤0，所以所求答案是f(x)=x2-4x+3.

(2)已知函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b(a,b,c均为常数).若当|x|≤1时，|f(x)|≤1恒成立且g(x)的最大值为2，则函数f(x)的解析式是____；

(2)f(x)=2x2-1.可得g(x)=ax+b(a>0)在x∈[-1,1]时是增函数，所以g(x)max=g(1)=a+b=2.

还可得|f(1)|=|a+b+c|=|2+c|≤1,2+c≤1,c≤-1及|f(0)|=|c|≤1,c≥-1，所以c=-1.

再由a+b=2，可得a=2，所以函数f(x)的解析式是f(x)=2x2-1.

解法1 9.可得题设即∀x∈[1,5],-x2-2≤px+q≤-x2+2.如图1所示，可得线段y=px+q(1≤x≤5)夹在另两条曲线段y=-x2-2(1≤x≤5),y=-x2+2(1≤x≤5)之间.

图1

可得曲线段y=-x2+2(1≤x≤5)的两个端点分别为A(1,1),B(5,-23)，还可证得线段AB:y=-6x+7(1≤x≤5)与曲线段y=-x2-2(1≤x≤5)切于点C(3,-11)，再由数形结合思想可得p,q的值分别是-6,7.

但还需要作严格证明：

也可这样证明：

分别令x=1,3,5，可得p+q≤1,3p+q≥-11,5p+q≤-23，所以

-23≥5p+q=2(3p+q)-(p+q)

≥2·(-11)-1=-23

解法2 9.令x=1,3，分别得

-2≤1+p+q≤2

③

-2≤9+3p+q≤2

④

④-③，④-③×3，分别得

-6≤p≤-2,-1≤q≤7

解法3 9.分别令x=1,3,5，可得

p+q≤1

⑤

-3p-q≤11

⑥

5p+q≤-23

⑦

⑤+⑥×2+⑦，得0≤0，所以⑤⑥⑦均是等式，进而可求得p=-6,q=7.

同解法2，还可验证p=-6,q=7满足题设，所以满足题设的p,q的值分别是-6,7.

但还需要作严格证明：

也可这样证明：

注同题4或题5的解法还可证得下面的结论：

由题4或题5的解法还可解答这道小题：

A．实数a有唯一取值……