侯传莹

(山东省青州实验中学 262500)

数学思想方法的形成对解决数学问题有着不可替代的作用，波利亚曾经说过：“不落俗套的数学问题求解，是真正的创造性工作”.数学解题方法多种多样，本文以例分析，共同感知数学思想方法的美妙.

一、特殊引领，妙解问题

例1已知函数f(x)是定义在R上的增函数，f(x)+2>f′(x),f(0)=1，则不等式ln[f(x)+2]-ln3>x的解集为( ).

A.(-∞,0) B.(0,+∞)

C.(-∞,1) D.(1,+∞)

解析取适合题意的特殊函数f(x)=ex，则所求不等式即为ln(ex+2)>ln(3ex)，所以ex+2>3ex，解得x<0.故选A.

点评有些选择题涉及的数学问题具有一般性，而提供的选择支往往互相矛盾，这类选择题要严格推证比较困难，此时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来，通过取适合条件的特殊值、特殊函数、特殊图形、特殊位置等进行分析，往往能简缩思维过程、降低难度而迅速获解.

二、类比归纳，别具一格

图1

证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.

因为AB，AC，AD两两垂直，所以AB⊥平面ACD.

又因为AE⊂平面ACD，所以AB⊥AE.

在Rt△ABE中，有

又易证CD⊥AE，所以在Rt△ACD中，

点评本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论.一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：

平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…

跟踪训练2 (1)(2020兰州实战性测试)观察下列式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1+2+…+n+…+2+1=____.

解析(1)由1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，…，归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2.

三、化归转化，逻辑明晰

例3 如图2，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1.设M，N分别为PD，AD的中点.

图2

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P-ABM的体积.

解析(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.

∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，

∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°，∴CN∥AB.

∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB.

(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.

∵AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴三棱锥P-ABM的体积

点评在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.

跟踪训练3 (1)函数f(x)=lnx-ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是( ).

A.(0,1) B.(-∞,1)

(2)(2020山东德州模拟)已知函数f(x)=mx2-x+lnx.

(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；

接下来，具体分析直线与曲线相切情形.

图3

令s(x)=2lnx+x-1，则因为易知函数s(x)在t(x)在(0,+∞)上递增，且s(1)=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一实数根x=1.从而，可知x0=1，所以kOP=t′(1)=1.

综上，由(*)知所求0

当m≤0时显然成立；

(2)f(1)=m-1，f′(1)=2m，故切线方程为y-m+1=2m(x-1)，即y=2mx-m-1.

从而方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在(0，+∞)上有且只有一解.

设g(x)=mx2-x+lnx-(2mx-m-1)，则g(x)在(0，+∞)上有且只有一个零点.

又g(1)=0，故函数g(x)有零点x=1.

又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，+∞)上单调递增.

∴函数g(x)有且只有一个零点x=1，满足题意.

故当x在(0，+∞)上变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x(0,1)1(1,12m)12m(12m,+Ϋ)g′(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗