虞志坚

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 临海 317000）

0 引言

线性变换是高等代数里非常重要的一个概念[1-11]。在线性空间里取定一组基后，线性变换在这组基下和一个矩阵是一一对应的，这是高等代数里很重要的一个结果。但是，对于基础比较薄弱的学生，他们往往只记住了这个结果，至于线性变换和矩阵到底是如何一一对应的却不是很清楚。教学中经常有学生会问：“线性变换和矩阵一一对应是否意味着向量经过线性变换后等于的对应的矩阵和向量相乘？”这些学生注意到了n阶方阵可以与线性空间Pn（这里P是一个数域）中的一个向量直接相乘，而且有时候上述情形是成立的。所以他们才会问到：“通常情况下线性变换作用于这个向量是否就等于对应的矩阵与这个向量视为矩阵时的乘积？”但是，有些时候上述情形又是不成立的。以微分变换为例，一个多项式经微分变换变成了次数降低一次的另一个多项式，可一个矩阵怎么能和一个多项式相乘？此外，对于Pn上的一个向量经线性变换后，如果不等于对应的矩阵与原向量的乘积，那么究竟等于什么？在什么情况下线性变换作用于向量等于对应的矩阵与原向量相乘？下面我们将举例详细地进行阐述，文中的素材取自本校高等代数课程所使用的教材，即文献[12]。

如果没有特别说明，下文中线性空间Pn中的向量都是指列向量，(x1,x2,…,xn)T示Pn中行向量(x1,x2,…,xn)经转置后得到的列向量。此外，若一个向量经线性变换成为另一个向量，我们将变换前的向量称为原像，变换后得到的向量称为像。……