冯姗

【摘要】笔者通过对广东省2020年中考数学第22题进行解题思路探究，以及对广东省近十年中考统考数学题的研究，对解决此类圆综合问题谈谈自己的思考.

【关键词】圆;问题;模型

一、问题的提出

在广东省中考数学中，圆综合解答题作为一道必考题，不仅考查学生对圆的相关知识的掌握，还考查学生多种数学能力，是学生综合素养的集中体现。笔者通过对广东省2020年中考数学第22题的探究，展现解决圆综合题的思维过程，对解决此类圆综合问题谈谈自己的思考。

例题（广东省2020年中考题-22）如题22-1图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.

（1）求证：直线CD与⊙O相切;

（2）如题22-2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上的一点，AD=1，BC=2. 求tan=∠APE的值。

（一）探索主题干条件

1.AD∥BC，∠DAB=90° →  ∠OBC=90°

2.AB是⊙O的直径  →   AD、BC是⊙O的切线

3.CO平分∠BCD   →

①根据角平分线的定义，∠1=∠2;

②根据角平分线的性质，∵∠OBC=90°，过点O作OE⊥CD，垂足为E，可得OB=OE.

（二）分析解题思路

（1）求证：直线CD与⊙O相切;

分析：证明直线与圆相切，需要同时具备两个条件：①直线过圆的半径外端;②这条直线垂直于这条半径。显然，从题干条件中没有直接给出需要具备的任一条件，这时需要构造其中一个条件，然后对另一条件进行证明。这是“作垂直，证半径”的基本图形，由探索主题干条件1和3可知，應该过点O作OE⊥CD，则可得OB=OE.

证明过程：∵AD∥BC，∠DAB=90°

∴∠OBC=180°- 90°=90°

过点O作OE⊥CD，垂足为E

又∵CO平分∠BCD

∴OB=OE

∴直线CD与⊙O相切。

（2）如题22-2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上的一点，AD=1，BC=2.求tan=∠APE的值。

探索题支干条件：

1.直线CD与⊙O相切于点E，又由探索主题干条件2可知，由切线长定理可得，DA=DE=1，CB=CE=2.

2.连接OD，可以依据HL或者SAS易证△OAD≌△OED，△OBC≌△OEC，可得两组全等三角形的对应边相等，对应角相等：DA=DE=1，CB=CE=2，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.

（i）如基本图形1所示，由∠3+∠4+∠5+∠6=180°

→∠4+∠5=∠3+∠6=90°，又∠4+∠2=90°，∠5+∠8=90°

→∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8.

（ii）如基本图形2所示，由AD//BC

→∠1+∠2+∠7+∠8=180°

→∠2+∠8=∠1+∠7=90°，又∠4+∠2=90°，∠5+∠8=90°

→∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8.

3.∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6

4.分析：题目求tan=∠APE的值，初中阶段求三角函数值，一般等量替换成直角三角形的内角来求对应边长的比值，因为∠APE是一个圆周角，所以，考虑转换成相等圆周角或者对应圆心角来求其tan值，由探索题支干条件3可以知道，∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6，这样就把∠APE转换成直角三角形的一个内角。求tan=∠APE可以从以下两个角度求解：

①射影定理（相似三角形）。，所以只需要求出圆半径即可。 由探索题支干条件2和第（1）问可以知道，∠DOC=90°，OE⊥DC，DE=1，CE=2，所以由射影定理可得，解得，所以tan=∠APE即可求。

②建立方程：∠APE=∠5=∠2，所以tan=∠APE=

tan∠5=tan∠2，所以，而DE=1，EC=2，所以，解得，所以tan=∠APE即可求。

证明过程：

∵∠DAB=90°，OE⊥CD

∴在Rt?OAD和Rt?OED中，OA=OE，OD=OD

∴Rt?OAD≌Rt?OED（HL）

∴AD=ED=1，∠5=∠6

同理可得，Rt?OBC≌Rt?OEC，

∴BC=EC=2，∠3=∠4

又∵∠3+∠4+∠5+∠6=180°

∴∠4+∠5=180o×=90°

又∵在Rt?OEC中，∠4+∠2=90°

解法①∴∠5=∠2，又∠OED=∠OEC=90°

∴?OED∽?CEO

（三）变式探究

笔者根据对上题的分析探究，进行了如下变式：

如图1，A、B是⊙O上的两点，AB不是直径，∠DAO=90°，∠CBO=90°，CO平分∠BCD.

（1）求证：直线CD与⊙O相切;

（2）延长DA、CB相交于点F，如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上的一点，AD=1，BC=2，BF=3，求tan∠APE的值。

二、问题模型研究与解决

圆综合解答题是广东省中考统考每年必考题，往年都是第24题9分题，今年设置在第22题8分题的位置，这道题综合性很强，图形复杂，以圆为背景图形，与三角形、四边形等结合，涉及的知识点较多，主要考查学生综合运用几何知识的能力和培养学生数形结合、转换与化归、方程、分类讨论等数学思想方法，主要指向初中生几何直观、推理能力、运算能力等数学核心素养。笔者对近十年（2011-2020）广东中考统考考试中圆综合这道解答题进行了研究，希望对广大一线教师和学生提供一点参考。