罗 德 仁，吕 天 星，刘 靓

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006 )

0 引 言

作为Koszul代数的推广，Brenner等在文献[1]中引入了几乎Koszul代数，特别地，他们利用几乎Koszul代数研究了Dynkin型遗传代数的预投射代数和双边Dynkin型遗传代数的平凡扩张代数以及它们的Koszul对偶周期性．近来，郭晋云利用几乎Koszul代数将平移箭图及平移代数与n-几乎可裂序列结合起来，引入了n-平移箭图及n-平移代数，并推广了经典的稳定平移箭图ZQ的构造到高维情形．Loewy矩阵及Loewy维数向量是20世纪末被提出的一个重要概念，文献[2-3]利用Loewy矩阵及Loewy维数向量初步给出了线性模的必要条件，并在此基础上给出了Koszul代数的判别方法和Koszul自入射代数具有有限复杂度的判定条件．文献[4]利用Loewy矩阵及Loewy维数向量讨论了n-平移代数的性质和判定方法，利用Loewy矩阵给出一个分次代数Λ的扭平凡扩张成为n-平移代数的条件．

本文将继续优化前人的工作，利用Loewy矩阵及Loewy维数向量讨论一般的有限维分次代数成为几乎Koszul代数的充分必要条件．

1 预备知识

设k是一个域．域k上的有限维代数Λ称为正分次代数，如果满足下面3个条件：

(1)作为向量空间，有直和分解Λ=Λ0+Λ1+…+Λn；

(2)Λ由Λ1和Λ0生成，即Λi+j=ΛiΛj；

2 Loewy矩阵与线性模

文献[2]利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出了d-线性模的一个必要条件，文献[4]给出了当JnM=0时，M为d-线性模的充分必要条件．本章利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出d-线性模在一般情况下的充分必要条件，从而推广文献[2，4]关于线性模的结论．

其中E为r×r单位矩阵．同时定义Λ的增广Loewy矩阵

Mt=Jt-sM/Jt-s+1M=0

…→Pk+1→Pk→…→P1→P0→M→0

使得当t≤d时……