吴 伟 才，刘 俊 吉

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006 )

0 引 言

平方交换律在代数领域是一种很重要的运算规则，文献[1]中证明了Nichols代数如果是有限维的，则某些共轭类中的元必须满足平方交换律．文献[2]中发现了rack运算和平方交换之间的等价关系，利用rack理论排除掉了很大的一类无限维Nichols代数．本文证明除了某种特殊的情形，交换律和平方交换律对2阶矩阵总是同时成立或不成立的．

另一方面，幂零矩阵、幂幺矩阵、幂等矩阵和(r,s)幂等矩阵是几种常见的矩阵[3-6]．作为这些矩阵的应用，不少学者开始研究群或者环上面的这些特殊矩阵[7-8]，但学者对于一般矩阵的方幂研究很少，一方面是因为难度太大，很难写出任意一个矩阵的任意次方幂的显式表达式，另一方面是研究某些特殊矩阵的幂更容易得到有趣的结果．对于任意的矩阵，要判断它是否是幂零矩阵、幂幺矩阵、幂等矩阵和(r,s)幂等矩阵，本质来说，归根于对该矩阵方幂的研究．本文结合某种数列的通项公式给出2阶矩阵方幂的显式表达式，进一步地给出2阶矩阵分别是幂零矩阵、广义幂等矩阵、广义幂幺矩阵和广义(r,s)幂等矩阵的充要条件，在广义幂等矩阵、广义幂幺矩阵和广义(r,s)幂等矩阵的结论中取θ=1，则得到幂等矩阵、幂幺矩阵和(r,s)幂等矩阵的结果．

1 基本定义

2 主要结果

引理1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．则

∀m∈N．

引理2对∀m∈N，k，l∈C，若k≠l，则km=lm，km-1=lm-1不能同时成立．

推论1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．若J2=αJ+βE，α，β∈C，则Jm=fmJ+fm-1βE，2≤m∈N．

证明对m用归纳法．当m=2时，J2=f2J+f1βE=αJ+βE，显然成立．假设m=k-1时结论成立，考虑m=k的情形．Jk=Jk-1J=(fk-1J+fk-2βE)J=fk-1J2+fk-2βJ=fk-2βJ+fk-1(αJ+βE)=(fk-1α+fk-2β)J+fk-1βE=fkJ+fk-1βE．得证．

推论2假……