曾赤洁

摘  要：极限是数学分析这门课程的研究工具，是贯穿整门课程的知识点。其中数列极限的计算是数学分析学习中的重要内容，也是各种上岗考试和研究生入学考试的重要考点。在极限的计算中，一类带有“n！”的数列的极限一直以来是计算的难点。该文就这一类带有“n！”的数列极限的计算展开讨论，从学生已有的知识结构出发，给出了几个行之有效的计算方法。

关键词：数列极限  迫敛性  级数  定积分  极限定义

中图分类号：O172.1                        文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）04（a）-0225-03

The Solution of the Limit of a Kind of Special Sequence of Numbers

ZENG Chijie

（school of mathematiesand physics， west yuman University， Lincang，Yunnan Province， 677000 China）

Abstract： In the course of Mathematical Analysis， the limit is a tool to study problems， and the knowledge about the limit runs through the whole course. The calculation of the limit of a sequence of numbers is an important part of the study of mathematical analysis. It is also an important test point for various post examinations and Postgraduate Admission Test. In the calculation of limit， the limit of a kind of sequence with "n！" has always been a difficulty. In this paper， the calculation of the limit of this kind of sequence with "n！" is discussed. Starting from the students' existing knowledge， several effective calculation methods are given.

Key Words： Limit of sequence; Squeeze theorem; Series; Definite integral; Definition of limit

数列极限的计算是极限计算的重点内容，也是进一步学习函数极限的基础。求数列极限的方法有很多，在实际运用过程中，教师要善于通过分析数列的特点，来选择最合适的方法。下面该文将通过具体例题介绍一类含有“n！”的数列极限的计算方法，这一类极限由于其中的“n！”不是初等函数，在计算上有一定的难度。

1  方法探讨

1.1 利用迫敛性

定理1（迫敛性[1]）设收敛数列都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有则数列收敛，且[2]。

例1  求极限。

方法解析：这是一个的待定型极限，一般想到的常规方法是先对数列取对数，然后再利用洛必达法则进行计算。但是由于“n！”不是初等函数，无法求其导数，所以不能应用洛必达法则。这里可以考虑将n放大成幂指函数nn，化简后再利用迫敛性来求得极限[3]。

解  因为对都有

而则由迫敛性可知。

例2  求极限。

解  因为对都有

而则由迫敛性可知。

1.2 利用级数法

定理2[4]（级数收敛的柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及对任意的正整数p，都有：

推论  若级数收敛，则

由级数收敛的柯西收敛准则的推论可知，若级数收敛，则通项数列的极限为0，从而可以将求数列极限的问题转化为讨论级数收敛的问题。

例3[5]  求极限。

解  令，作级数，因为

由比式判别法可得级数收敛，则由柯西收敛准则的推论可知：

上述例2也能用此方法來求解。

1.3 利用定积分的定义

定义1[6]  设f是定义在上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集 ，只要，就有

则称函数F在区间上可积，数J称为F在上的定积分，记作

特别地，当为，分割T为等分，取每个小区间的右端点i/n时，有

例4  求极限。

解  令，则

所以，由复合函数的极限可知

1.4 利用施笃兹（Stolz）定理

定理3[7]（施笃兹定理）设=+∞且从某一项开始严格单调增加，如果

则

。

解  显然分母是严格增加的，则由施笃兹定理有

1.5 利用数列极限的定义

定义2[8]  设为数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当时有

则称数列收敛于a。

从定义可以看出，数列若以a为极限，则只需找到一个正整数N，使得不等式成立即可[8]。

例6 求极限。

解  当时，显然有。

当时，对取k=[|a|]+1，要使得

≤（其中）成立，

解得，不妨取

则对

有

成立，由数列极限定义可知

综上所述，对任意的实数a，都有

此题也可用级数法来进行求解。

2  结语

上面介 绍了5种求解含有“n！”的数列极限的方法及其对应的题型。在实际操作中，有些题目可以采用多种方法来进行求解，要从中选择最简便易行的方法。

参考文献

[1] 华东师范大学数学科学学院.数学分析：下册[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[2] 刘玉琏，傅沛仁，林玎等.数学分析讲义：下册[M].6版.北京：高等教育出版社，2018.

[3] 杨威.一类数列的极限[J].大学数学.2018（4）：108-110.

[4] 刘玉琏，傅沛仁，林玎，等.数学分析讲义：上册[M].6版.北京：高等教育出版社，2018.

[5] 华东师范大学数学科学学院.数学分析：上册[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[6] 吕响，毛雪辰，刘东，等.极限的多种求法[J].科技创新导报.2018（22）：226-227.

[7] 白梅.几类特殊形式的极限求法探讨[J].大学教育，2019（11）：100-101，123.

[8] 李以孝.高中生数列极限概念的认知现状研究[D].华东师范大学，2016.