赵欣，李秀梅，汪颖 ，张继红，梁波

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028) *

非线性偏微分方程的精确解研究在实际中十分重要.研究方法上包括李群对称分析方法、级数展开法等.文献[1-2]利用Backlund变换并结合李对称分析方法和幂级数展开法对一类非线性偏微分方程给出了精确解分析.文献[3-4]则研究了一类非线性四阶偏微分方程的精确解.文献[5]对一类非线性四阶偏微分方程求出数值结果.本文是结合经典方法，对四阶非线性偏微分方程进行计算和研究得出求精确解的一种方法.

本文研究一类非线性四阶偏微分方程：

(1)

的精确解，其中k,λ,μ,c,f,g,h均为常数.

1 精确解分析

1.1 方程处理

令u(x,t)=φ(x,t)+R,代入到式(1)中有

(2)

对式(2)进行约化有

(3)

令Φ=φ-φx，为了使式(3)中的每一项依赖于Φ或Φ的微分，要求其系数满足条件：

解得

于是式(3)转化为

(4)

1.2 求解过程

这里考虑两种情况：

情况一：当λ≠0时,考虑方程Φ=0，即

φ-φx=0.

基本解组为φ(x,t)=A(t)ex

其中A(t)是任意函数.

情况二：当λ=0,k≠0时，则式(4)化为

-kΦxx-Φtt+kΦxxx=0

(5)

此时介绍三种研究方案：

方案一：若

Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt

其中c,d为任意常数.可求得基本解组为

φ(x,t)=A(t)ex+cx+dt

其中，A(t)是任意函数.

方案二：若

Φ=φ-φx，φ-φx=x2-kt2,

故基本解组为：

φ(x,t)=A(t)ex+x2-kt2,

其中A(t)是任意函数.

方案三：若Φ=φ-φx，

φ-φx=x3-3k(x-1)t2

基本解组为

φ(x,t)=A(t)ex+x3-3k(x-1)t2

其中A(t)是任意函数.

1.3 推广

(6)

对式(6)求解得

故式(3)转化为

(7)

此时考虑两种情况.

情况一：λ≠0,考虑方程Φ=0.求得基础解组为

φ(x,t)=A(t)eαx

其中A(t)是任意函数.

情况二：当λ=0,k≠0时，则式(7)转化为

(8)

此时有如下方案给出精确解.

方案一：若

Φ=φ-φx，φ-φx=cx+dt+e

其中c,d,e为任意常数. 基本解组为

φ(x,t)=A(t)eαx+cx+dt+e

其中A(t)是任意函数.

方案二：若Φ=φ-φx,

其中b,e,c为任意常数. 基本解组为

其中A(t)是任意函数.

由方案一和……