李清纯，张继红，梁波

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028) *

对于带有p-双调和算子的抛物方程的研究有很多，其中文献[1]提出了当p>2时，如下的退化拟抛物方程：

(1)

本文基于文献[1]所给出的方程考虑下述退化拟抛物方程问题

(2)

其中p≥2为常数，k>0为粘性系数，f(x,t)为关于x,t的二元函数.

在方程(2)中，当p=2时，方程为一个四阶抛物型偏微分方程.近年来关于对四阶抛物方程解的研究受到许多学者的关注：文献[2]对一类四阶抛物型方程构造两层含参数的差分格式，并分析其截断误差证明稳定性；文献[3]基于泛函的极小值原理，利用不动点定理证明一类四阶抛物型方程的定态解的存在性；文献[4]利用有限差分法对带有非线性项的晶体BCF模型进行数值计算，得到了较高的精确结果.

当p>2时，方程为带有p-Laplace算子的退化拟抛物方程.目前关于p-Laplace方程也有不少研究：文献[5]对具有梯度项的p-Laplace方程对应的逼近方程利用最大模估计以及能量估计等证明了其弱解的存在性；文献[6]利用集中紧性原理以及相关不等式研究了含Sobolev临界指数的p-Laplace方程解的存在性问题.

本文将对退化拟抛物方程(2)分p=2和p=3两种情况研究其数值结果.

1 有限差分法

在方程(2)中，不妨假设k=1.

ut-uxxt+(|uxx|p-2uxx)xx=f(x,t)

(3)

接下来对方程(3)中各项方程进行离散.

考虑内网点(xk,tn)处，ut|(xk,tn)-uxxt|(xk,tn)+(|uxx|p-2uxx)xx|(xk,tn)=f(xk,tn)

对导数项ut采用向前差分法：

(4)

对导数项-uxxt采用中心差分法及向前差分法近似：

(5)

(6)

将得到的方程各项代入方程(3)中合并，有

(7)

(8)

k=2,3,…,N-2，n=0,1,…,M.

本文取xa=a+h,xb=b-h，则初边值条件为

(9)

那么式(8)、(9)就是式(2)当k=1时的有限差分方程.

2 数值实验

下面给……