浙江省金华市第一中学 (321000) 丰晓彤

我们知道，余弦定理是解三角形中的重要理论工具，如果再与基本不等式配合就可以解决很多三角形中的求最值和范围等问题，本文通过对几个典型题例的分析求解，为读者朋友展示解题技巧和相关要点，仅供参考.

一、解决三角形边的问题

在解三角形中，用正弦定理和余弦定理都是求边的工具，而在求与边有关的范围和最值问题中，必须整体思考，通过余弦定理整体列式，然后再由基本不等式解决问题.

(1)求角B的大小；(2)若a+c=1，求b的取值范围.

评注：在三角形中求角，必须注意三角形内角和定理的运用，由此确定角的范围，从而确定某些三角函数值的符号，在求边的范围时，必须注意两边之和大于第三边定理的运用，忘了这个限制很有可能出错.

评注：在已知一条边长后，再求三角形的周长，只需整体解决另外两边的和就行了，这点思考很重要，然后再用余弦定理就容易达到解题目的了.

二、解决三角形角的问题

一般都是对题设条件式进行边角转换，然后进行代数变形和放缩化简，最后转化成一个关于某一个角的三角函数式的值或者取值范围，再根据三角形中内角的范围确定此角的取值范围.

例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求角B的最大值.

评注：题设中给出的关于三角形边的条件比较多，运用余弦定理解决边的问题是首选，注意此时选定的角要有针对性，大多是解决问题的对象，也可以是受条件的引导.

在总额预付制下医保控费管理的检查主要分为三步实施。第一步，对医保总额的完成状况进行检查；第二步，按照DRG病种进行分析，找到对医保费用变化影响最大的重点病种，例如超过分摊权重20%的病种；第三步，由于医疗费用是由患者人数和患者均次费用两个指标共同决定的，因此可将医疗费用的变化分解为 “由于收治患者人数变化造成的费用变化”和“由于患者均次费用变化造成的费用变化”两类（见表2）。通过对重点病种医保费用的分解，找出引起医保总额超标的主要原因。

评注：本题是用不等关系解决相等问题，抓住所给条件式的特点，利用余弦定理进行有针对性的变形转化，最后达到消元、化简的目的，为后面运用基本不等式解题扫清了障碍.

三、解决三角形的面积问题

在解三角形的问题中，如果已知一个角，欲求此三角形的面积，我们应该尽量运用关于此角的三角形面积公式解题，这样就将面积转化为两边积的问题了，后面再运用已知条件，联合基本不等式就能解决三角形面积的范围问题了.

评注：本题是一个难度不大的题目，通过运用余弦定理得到了角B的值，然后再抓住已知等式运用基本不等式得到了ac的取值范围，这两步是成功解题的关键.抓住条件、瞄准目标、整体变形是有效的解题方法.

评注：在第(1)问中求出了sinA的值，那么在求此三角形的面积时必须抓住此条件建立面积的关系式，后面根据已知条件得到b+c=16后，再运用基本不等式解决面积的最大值就是自然而然的问题了.

四、解决有关三角函数式的范围问题

这里首先考虑的是将欲求的三角函数式转化为关于某一个角的函数关系式，然后就是根据已知条件解决这个角的范围问题，两个都解决了后面三角函数的范围就迎刃而解了.

例7 已知△ABC的三边a,b,c成等差数列，求sinB+cosB取值范围.

评注：本题抓住已知条件，并运用余弦定理构造了一个三角函数的不等式，解决了关键的需求角的范围问题，为求函数式的范围奠定了坚实的基础.

评注：首先运用余弦定理将用角表示的三角函数式转化为边的关系是解题的关键举措，而在解决最值问题时及时运用基本不等式也是解题的重要点睛之处.