重庆市长寿中学校 (401220) 田 鹏

1 问题背景

圆锥曲线中关于定点、定值的问题是历年高考试题和各地的模拟试题中常考问题.这类问题综合性强，计算量大，结论优美，蕴含丰富的背景，结论可以推广.另外，斜率是解析几何中刻画直线的重要因素, 在判断直线间的关系时起到了不容忽视的作用.本文对圆锥曲线中两条直线斜率之积为定值进行分析、研究、推广.

2 原题呈现

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第(1)问是求椭圆的标准方程，构建相关方程组，易求得答案.第(2)问是证明两条直线斜率之积为定值的问题，综合性强，计算量较大.核心步骤是设出直线l的方程，联立直线l的方程和椭圆的方程，构建A,B两点的坐标关系，表示出直线AP和BP的方程，联立直线l1的方程求解M和N的坐标，再用斜率公式表示kQM·kQN，最后化简求得答案.

从解答过程看，只要理清题干里面的点、线位置关系，构建解题顺序，准确计算每一步骤中的代数式，易求出答案.求解后，有三个方面的问题引起了笔者的思考：其一，点P的位置具有特殊性吗？其二，直线l所过定点和直线l1的方程之间有什么关联吗？其三，该结论是否具有一般性，能否推广到双曲线和抛物线中.沿着这个思路，笔者进行了以下的探究.

探究发现，kQM·kQN为定值与点P(s,t)(与A,B不重合)在椭圆上的位置无关，自然思考结论可能会与定点Q和定直线l1有关，故继续进行下列探究.

探究发现，kQM·kQN为定值与定点Q和直线l1有关，此结论可推广到任意的椭圆中.

探究发现，结合探究1、探究2发现kQM·kQN为定值只与定点Q和定直线l1有关.即有如下结论：

类似地，可以证明在双曲线和抛物线中，即有如下结论：