广西师范大学数学与统计学院 (541000) 张丽杰 周 莹

随着《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的实施，与之相呼应的新版数学教材应运而生，为便于数学教师更好的开展教与学，研究、分析、比较新版教材与旧版教材之间的区别与联系显得十分重要.指数函数是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的一次实践，对于提高学生的科学素养，实现教育要关注“人的发展”是十分有意义的[1].而对数概念的学习不仅能够深化对指数函数的理解更为学生数学建模提供知识基础.基于此，将以“指数函数和对数函数”一章为例，探讨新版教材在结构和内容上的变化及其特色，以期为数学的教育教学提供一些参考.

一、研究设计

新版教材为2019年普通高中数学教科书人教A版第一册[2]；旧版教材为2007版普通高中课程标准实验教科书人教A版必修一[3].采用文献分析法、文本分析法、统计法和比较研究法对两版教材中关于指数函数和对数函数的内容进行比较.

二、结构设置比较

1.整体框架比较

由表1可以看出，变化主要体现在：1.将幂函数一节放在了第三章中.由于幂函数与学生之前学习的一次函数、二次函数和反比例函数有相通之处，放在第三章不仅体现了以旧知为逻辑生长点的宗旨，还有利于学生理解和巩固新知(函数的概念及性质)，也为学生学习第四章内容奠定了思想基础，可谓“一举三得”；2.将第二章和第三章合并为一章(第四章).在学习完新知后立即应用指数函数与对数函数，体现了知识的模块性和连续性，既有助于学生“趁热打铁”，体会数学的应用价值，还方便教师逐步渗透数学建模思想；3.新版教材将“指数”、“对数”单独设置为一节，明晰了学习知识的循序渐进性，有利于强化学生大脑中“指数”、“对数”概念及其运算法则存在的必要性的意识.

表1 新版与旧版教材整体框架比较

2.“节”构比较

除了部分小节的名称稍有变动外，新版教材将旧版中“几类不同增长的函数模型”一节改为“不同函数增长的差异”并放于对数函数一节之后：名称的改动增强了教学的目的性，即让学生感受不同函数的“增长差异”；位置变化对应的内容也有所改变——3.2.1中的例1和例2放在了函数模型的应用中，将剩余内容通过3个探究活动带领学生感悟不同函数的变化规律，整个内容变得更加层层递进.此外，新版教材继续沿用了旧版教材中标签的设置，发挥标签“引思、提示、总结、拓展”的功能，其中旧版教材共设置标签23处，新版教材共设置标签20处.

三、内容变化比较

1.章始章末节比较

(1)章始节比较

由表2可知，新版教材问题呈现方式的改变(第一段)增强了指数函数的背景性；引入方式的变化(第二段)更加让学生认识到学习指数函数的必要性；在内容介绍上(第三段)，以幂函数为引降低了学生学习本章内容的恐惧感.整体来看，新版教材章始节段落之间的承接性更强.

表2 新版与旧版教材章始节比较

(2)章末节比较

章末节继续采用了旧版教材中小结(本章知识结构、回顾与反思)的方式.

不同之处在于：在“本章知识结构”部分，与旧版教材相比，新版教材的知识结构图更加丰富，除了增加“函数的应用”一节外，还强调了把握“指数函数”的定义及其运算性质的重要性，更加注重学生对“指数函数与对数函数”现实背景的掌握.

在“回顾与思考”部分，“回顾”的变化主要体现在文字增多，由原来的一段分为了三段.其中，第一段叙述了本章知识要点，第二段概括了本章学习历程，第三段给出了在运用函数解决问题时的注意点.如果说第一段告诉了学生“知什么”，那么第二段就是在告诉学生“是如何知的”，第三段则是“知而后用”.整体来讲，相较于旧版教材，新版教材内容更加详细，语言表达更加精准，字句段落间更有连续性，更能让学生体会知识的连续性，实现了真正意义上的“帮学生整理思路”.“思考”部分以9个问题呈现，主要有以下特点：①按照学习的顺序排列，问题之间环环相扣；②既有具体化的问题，例如“1.指数和对数的概念都有现实背景，你能举出一些实际例子吗？”，又有需要“蹦一蹦”的问题，例如“4….你能由此说说如何研究一类函数吗？”；③更加注重过程与方法层面上的思考和思维引导.总体而言，新版教材通过“回顾”给了学生“鱼”(第一段)和“渔”(第二、三段)，又以“思考”引起学生的“欲”，做到了真正意义上的使学生“思”.

2.探究活动比较

旧版教材主要包括“探究”、“思考”、“观察”、“阅读与思考”、“探究与发现”栏目，共有20处，新版教材删去了“观察”栏目，增设了“文献阅读与数学写作”栏目，共25处，较旧版教材在数量上有所增加.

新版教材的探究、思考内容更加注重引导性、变化性和迁移性.其中，引导性在于：①知识的讲解都是建立在“探究”或“思考”下展开的，既具有承上启下的作用，环环相扣，不易使学生的思路“走神”，还突出了探究或思考等栏目的地位和作用，比如“不同函数增长的差异”一节；②问题提问方式更加具体化、更具有方向性和可操作性，比如由旧版教材中的“观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？”变成新版教材中的“观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域和性质吗？”.变化性在于：①问题探究的逐步深入，既能够让学生进行深度思考、积累由具体到一般的活动经验，又有利于培养其由特殊到一般的逻辑推理素养；②条件或情境的拓展，比如在“不同函数增长的差异”一节中，首先探究指数函数与一次函数的差异，其次探究对数函数与一次函数的差异，然后改变条件(如果将lgx放大1000倍)再次思考其中的规律.迁移性在于新知与旧知的联系性.

3.细节比较

细化旧版教材内容.新版教材在旧版基础上给出了实数范围的指数幂的运算性质，使其拓展过程得到了完善.

增加节引言.新版教材在每一节开始之前都设置了引言，其功能与价值主要体现在：①解释了为什么学习本小节内容，即学习本小节知识的原因；②增强了学习本小节内容的目的性，即本小节需要解决什么问题；③拟计划如何解决.比如，在4.1指数的节引言中，学习本节内容的原因是“为了研究指数函数”，需要解决的问题是“把指数的范围拓展到全体实数”，解决方案：从学生已经学过的幂函数(正方形边长关于面积的函数式)入手.事实上，学生可能会产生以下困惑：①为什么学习指数函数之前要把指数的范围拓展到全体实数？即让学生理解拓展数域的必要性；②为什么拓展数域需要研究n次方根？即让学生明白先讲n次方根的原因及根式存在的意义.

4.概念引入与深化比较(以“指数函数”为例)

在概念引入方面，旧版教材的方式为：呈现问题1、分析过程及结果→呈现问题2及结果→探究两个问题中解析式的共同特征→用字母a代替底数→指数函数的概念；新版教材的方式为：呈现问题1→分析问题1→解决问题1→呈现问题2，分析过程及结果.相同之处在于两版教材都通过引导学生替换问题中所得解析式的底数来得到指数函数的概念.不同之处在于旧版教材对问题的分析程度不够.新版教材秉承新课标中加深学生对指数函数变化规律理解的目标，详细分析了问题1(问题1变为热点问题——旅游)：首先按照学生的思考习惯引导学生发现，将数据文本转化为图象并不能准确的描述变化规律，必须寻找新的方法，新版教材的做法是，通过探究引导学生发现变换运算方式可以得到年增长率，而年增长率可以更精准的刻画数据变化，接着才引出了旧版教材中文字描述式的变化规律.新版教材还增强了问题2的过程性，并更改了最后解析式的书写方式，方便学生更好的理解用a代替底数：

新版教材的引入方式不仅能让学生得到指数函数的解析式，更能通过问题的呈现与探究渗透学会用数学语言描述和刻画现实的思想，增强了数学的实际性和应用性，如“B地景区的游客人次近似于指数增长”、“死亡生物体内碳14含量呈指数衰减”.

在概念深化方面，旧版教材并没有直接给出进一步的说明.新版教材通过例题的形式来巩固指数函数的概念，加深学生对指数函数形式的理解：例1考察了底数a，例2拓展了前面两个问题，主要考察函数的确定、某一点函数值的确定与比较、绘制大致图象，并借此引出了y=kax形式的增长模型.

5.信息技术融入比较

在旧版教材建议将信息技术融入课堂后，2017版(2020修订版)课标着重强调了其运用的必要性，至此新版教材增设了相关内容.比如，在学习“指数函数图象及其性质”内容时教材中提到“选取底数a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y=ax的图象”.值得注意的是，虽然强调了信息技术的融入，新版教材也没有脱离旧版教材的理念：让学生亲自动手操作绘制指数函数的图象.

6.数学文化渗透比较

新版教材在第一节增加了一篇关于物理学知识的阅读与思考，既有利于学生进一步理解指数函数，又增强了其对数学的跨学科应用的认识.在最后增加了一篇文献阅读与数学写作和一个数学建模活动，这也是新版教材最大的亮点之一，“对数概念的形成与发展”让学生在了解数学史的同时感悟数学知识的产生、变化与发展过程；数学建模活动则以最具中国特色的茶文化为引，选题新颖，是体现中华优秀传统文化融入数学课堂教学的最好实例之一.

7.例习题数学核心素养渗透比较

2017年版(2020修订版)课标中对“指数函数和对数函数”的素养要求主要有：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理[5]，以此为基础进行新旧版教材的例习题数学核心素养渗透比较.

由表3可知，两版教材的数学运算和逻辑推理素养占比较高，并且新版教材在数学抽象、数学建模、直观想象和逻辑推理素养的比例均有所升高，五个素养在例习题上的分布更均衡.

表3 两版教材数学核心素养例习题数量比较

四、研究结论

1.从陈述事实到引导思考，新版教材更加注重学生学习的主动性

新版教材在呈现每一个知识点之前都进行了详细的思想、方法、事实的铺垫(节引言)，引导学生步步深入，不会感到唐突.同时，新版教材更改了问题提问的方式：编排更加站在学生的角度、遵从学生的认知水平和思考习惯；更加注重以学生已有经验为逻辑生长点展开学习，既增强了学生新知与旧知的联系，又有利于促进其深度学习.这样，学生在阅读教材的过程中更加能够感受到起伏变化，从而产生“是呢？为什么呢？”的主动思考而不是“哦，这样子”的被动学习.由此看来，新版教材更加体现“以学生为本”的教育理念，对落实“立德树人”任务具有重要意义.

2.从简单提问到共同探究，新版教材更加关注问题的探究性

根据新课标中提出的培养学生四能目标，新版教材增强了对问题的探究性与探索性，注重让学生经历“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题→拓展问题”的过程.

3.从分散学习到整体感知，新版教材更加培养学生的系统思维

新版教材以指数函数与对数函数之间的联系为线索，按照“运算法则→概念→图象、性质→指数爆炸、对数增长→模型应用”的顺序将其设置为一章内容，以探究活动为主线，引导学生思考、探索、参与，在整体把握指数函数与对数函数内容的基础上，明晰指数函数与对数函数之间，指数函数、对数函数与现实之间的相互关系，从而提升学生的系统思维.

4.从信息技术拓展到信息技术融入，新版教材更加强调直观想象素养的渗透

新课标指出，图象是研究性质的重要载体，新版教材通过信息技术绘制了多个指数函数和对数函数的图象，实现了图象的动态化，便于直观感受其变化规律，再让学生以形的变化感知数的运用，数形结合，达到培养学生直观想象素养的目的.

5.从总结建模过程到参与建模活动，新版教材更加凸显数学建模的过程性

虽然旧版教材在第三章中给出了建立数学模型的基本过程，但是并未深入探讨与分析，学生仅仅停留在表面的认知水平.为此，新版教材在新课标的引导下，以传统文化为引，把数学建模活动单独设置为一个模块放在章末，将这一素养培养置于“桌面”上，让学生亲身经历建模活动的整个过程，在渗透数学文化的同时，能够极大的锻炼学生小组合作能力、收集与处理信息的能力和利用数学模型解决问题的能力，还有利于让学生积累更多的活动经验和解决问题的经验.

五、研究启示

1.重视章始节，充分利用章末节

章始节是一章内容的开始，这一部分可以帮助学生把握本章学习要点，在教学中教师不能一带而过.章末节很好的总结了本章内容，教师要利用其引导学生构建自己的思维导图，注重反思提升，以准确的把握知识间的相互联系.

2.建立知识模块体系，明晰要素关系

教师只有整体感知章节内容，才能更好地把握教学节奏、顺序与课时分配.教学过程中，可以从以下三个方面反思“指数函数与对数函数”一章的教与学：①概念内涵及外延[6]：概念内涵包括指数、对数、指数函数、对数函数概念及其图象、性质，指数爆炸、对数增长等；外延包括运算法则、肯定例证(如y=2x)等.②能力与思维：字母代数思想；数形结合思想，比如零点定理、求近似解等；类比归纳思想，比如类比指数函数性质的发现过程总结对数函数的性质等.③评价核心素养：运算法则使用的灵活性(数学运算)；概括指数函数、对数函数概念的形成过程并进行多元表征(数学抽象)；根据数据绘制图象，根据实际对图象进行加工与变换，将问题中的文字转换为图象，观察图象发现变化规律等(直观想象)；明晰指数函数、对数函数及其之间的关系，确保符号推理的顺畅(逻辑推理)；尝试从情境中提炼数学问题，选择合适的模型等(数学建模).

3.巧用信息技术，激趣引思，突破难点

信息技术作为新时代背景下的新兴事物，能够极大的引起学生兴趣，因此教师在制作积件时[7]，应充分考虑到信息技术“激趣引思”的作用，再结合问题驱动增强学习的探索性，调动学生学习的积极性[8].此外，要充分利用信息技术突破教学难点，比如让学生动态化感知指数函数“底大图高”的性质，直观感知底数互为倒数的指数函数关于y轴对称、指数函数与对数函数互为反函数(关于y=x对称)等等.