李辉，杜群贵

(华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

深沟球轴承是最常用的滚动轴承，因其摩擦阻力小，极限转速高，可承受联合载荷而广泛应用于电动机、汽车变速箱、机床齿轮箱等旋转机械中。轴承转动过程中，球沿沟道运动会产生离心力(转速越高,离心力越大)，对轴承径向刚度产生影响；润滑状态下，球与沟道之间会形成一定厚度的油膜，也会影响轴承径向刚度。因此，轴承高速化后，油膜和球离心力对轴承径向刚度的影响增大，成为了不可忽略的因素。轴承径向刚度影响着齿轮传动系统的振动特性，所以建立准确的深沟球轴承径向刚度计算模型(考虑油膜和球离心力)是分析轴承径向刚度对系统径向振动特性影响的基础。

关于滚动轴承的刚度计算，国内外学者已经进行了很多研究。文献[1]使用赫兹理论推导出了轴承刚度的计算方程式，文献[2]根据赫兹弹性接触理论计算出了深沟球轴承径向刚度，文献[3]基于有限元法计算出了深沟球轴承径向刚度，但上述研究均未考虑油膜刚度和高速下球的离心力。文献[4]基于Jones-Harris模型求解了高速球轴承刚度，但未考虑油膜刚度。文献[5]求解了考虑油膜刚度的深沟球轴承径向刚度，但未考虑高速状态下球的离心力。文献[6]基于Jones-Harris模型求解了考虑油膜刚度的高速角接触轴承刚度，结果表明油膜是高速转子系统中不可忽略的影响因素，但Jones-Harris模型基于所有球与沟道始终接触的情况，对于纯径向力作用下的具有正游隙的深沟球轴承并不适用。

本文基于赫兹接触理论，考虑油膜厚度和球离心力对深沟球轴承径向刚度的影响，建立考虑弹性流体润滑的高速深沟球轴承径向刚度计算模型。以6306深沟球轴承为例，计算不同工况下，考虑不同因素时的轴承径向刚度，分析油膜和球离心力对径向刚度的单独影响和耦合影响。

1 深沟球轴承径向刚度的计算

1.1 球的离心力

深沟球轴承运转时，球因公转而产生离心力，当轴承的转速达到一定程度，球离心力对外圈的作用不可忽略。

由内外圈的转速可以得到球的公转速度为

(1)

γ=(Dwcosα)/Dpw，

式中:ni为内圈转速；ne为外圈转速；Dw为球直径；Dpw为球组节圆直径；α为工作接触角。

当外圈固定，内圈转动时，球公转速度为

(2)

球的离心力为

(3)

式中:mb为球质量。

1.2 考虑离心力的球与沟道接触刚度

在径向力作用下，由于轴承径向游隙以及内外圈与球的接触变形，内圈相对外圈会产生径向移动，不同角位置的球也会受到不同大小的力。深沟球轴承的径向载荷与位移如图1所示，应用赫兹接触理论对接触刚度进行求解。不考虑球离心力时，球最大载荷Qmax与轴承径向载荷Fr之间的关系为[7]

(4)

式中：Z为球数；Jr(ε)为径向积分,不同ε值对应的Jr(ε)值不同，可由文献[7]中表7.1得到;Gr为径向游隙；δr为内圈相对于外圈的径向位移。

图1 深沟球轴承径向载荷与位移示意图

考虑球离心力时，球离心力会使外沟道载荷增加，从而产生更大的接触变形，效果与增大游隙相似(增大游隙会缩小载荷分布范围，从而使球最大载荷增大[8])。在计算考虑球离心力的球最大载荷时，应先将球离心力导致的外沟道变形等效为径向游隙，然后计算径向积分Jr(ε)。

根据球-沟道接触的载荷-位移关系式δ～Q2/3，将球离心力产生的外沟道变形等效为径向游隙

(5)

式中：kbe为球与外沟道的径向载荷-位移系数；δ*可利用球与外沟道接触处的曲率差F(ρ)由文献[7]中表6.1得到;E1，E2分别为球和外圈材料的弹性模量；ν1，ν2分别为球和外圈材料的泊松比；f为与球接触的沟道曲率。

分析载荷最大的球受力情况如图2所示。

图2 球受载图

由图2得到球的受力平衡方程

Qi+Fb=Qe，

(6)

内、外圈与球的载荷-位移关系分别为

(7)

(8)

式中:kbi为球与内沟道的径向载荷-位移系数，计算方法同kbe；δi，δe分别为球与内、外沟道的接触变形量。

联立(4)，(7)式得到球与内沟道接触刚度为

(9)

联立(3)，(4)，(6)，(8)式得到球与外沟道的接触刚度为

(10)

式中:Jr(ε)的取值需要考虑球离心力产生的ΔGr。

1.3 油膜刚度

弹性流体动力润滑是滚动轴承中常见的润滑类型。弹流润滑下的点接触油膜刚度可以由接触区域的最小油膜厚度关系式推导得出，文献[9]给出了点接触最小油膜厚度量纲一的公式为

(11)

ξ=α0E′，

2.缺乏系统的制度管理工作。内部控制建设成果的表现之一就是固化的管理制度，系统化的管理体系有利于建立高效的内部控制体系。我国公立医院虽然建立了许多适合医院经营的制度，但是建立的制度缺乏系统化的管理。医院各部门权责不明，各部门之间的协作性不高，部门的效率低。缺少制度化、系统化的制度管理部门，制度缺乏严谨性，不利于科学化、系统化的内部控制体系建设。

式中：η为20 ℃时大气压下的润滑油动力黏度；α0为润滑油黏压系数；u为球与内、外圈沟道接触点的平均速度；Rx和Ry分别为接触椭圆长、短半轴上的等效半径，内圈为-，外圈为+。

最小油膜厚度为

h0=RxH0。

(12)

根据(11)，(12)式可得内圈与球的油膜刚度为

(13)

(E′ZJr(ε))0.073,

外圈与球的油膜刚度为

(14)

Hamrock-Dowson 公式适用于轻、中载条件下，但有时也可计算重载下的弹流膜厚[9]。

1.4 综合径向刚度

轴承综合径向刚度可以等效为内外圈与球接触刚度和油膜刚度的串联[10]，即综合径向刚度K为

(15)

2 深沟球轴承径向刚度分析

选取某型号高速减速器输入端轴承(6306)为例，分析球离心力与油膜对轴承径向刚度的影响。分别计算不考虑球离心力与油膜、考虑球离心力、考虑油膜、考虑球离心力与油膜这4种情况下的轴承径向刚度,分别记为K0,K1,K2,K3。轴承参数见表1，润滑油选用矿物油，动力黏度为0.02 Pa·s，黏压系数为2.3×10-8Pa-1。

表1 6306轴承参数表

2.1 载荷对径向刚度的影响

在不同转速下轴承径向刚度随径向力的变化曲线如图3所示:径向刚度随径向载荷增大而增大，油膜和球离心力均会使径向刚度减小。油膜和球离心力对径向刚度的影响在高转速下更明显；在1 000 r/min转速下，不同载荷下球离心力对径向刚度的影响小于油膜；在10 000 r/min转速下，载荷较小时油膜对径向刚度的影响大于球离心力，载荷较大时球离心力对径向刚度影响大于油膜。

图3 载荷对轴承径向刚度的影响

2.2 转速对径向刚度的影响

在5 kN载荷作用下，轴承径向刚度随转速的变化曲线如图4所示:径向刚度不随转速改变而改变；油膜和球离心力均会使径向刚度减小，且转速越高，对径向刚度的影响越大；在低转速下，油膜对刚度的影响大于球离心力，在高转速下，两者对刚度的影响相当。

图4 转速对轴承径向刚度的影响

2.3 游隙对径向刚度的影响

在转速为5 000 r/min，载荷为5 kN时，轴承径向刚度随游隙的变化曲线如图5所示， 4种径向刚度均随游隙增大而减小。这是因为虽然游隙不会改变球离心力和油膜厚度，但会通过改变球的载荷分布影响轴承径向刚度。

图5 游隙对轴承径向刚度的影响

3 结论

轻、中载荷条件，最高转速13 000 r/min，轴承处于弹流润滑状态下，分析各因素对轴承径向刚度的影响：

1)轴承径向刚度随载荷的增大而增大，球离心力和油膜会使径向刚度减小，高速工况下，球离心力和油膜对径向刚度的影响相当。

2)随着转速的提高，油膜和球离心力会加剧轴承径向刚度的减小。高速、轻载时，油膜对轴承径向刚度的影响高于球离心力；高速、重载时，球离心力对轴承径向刚度的影响高于油膜。

3)径向游隙的增大会使轴承径向刚度减小，游隙通过改变球的载荷分布影响轴承径向刚度。

4)油膜和球离心力对轴承径向刚度的影响在不同转速和载荷状态下会发生变化。在计算高速下轴承径向刚度时，油膜和球离心力对轴承径向刚度的共同影响不可忽略。