张 硕

(东北林业大学，黑龙江 哈尔滨 150040)

1 小波变换

1.1 小波变换基本理论

小波变换因为具有多尺度特性可逐步观察信号，分析信号细节，因此常被用于信号处理。小波变换的含义是：把基本小波(Mother wavelet)函数φ(x)作平移b后，再进行不同尺度a下的转换与待分析信号f(x)进行内积

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识别结构损伤常采用离散小波变换，既对Ta,b进行二进离散化，取a=2j,b=k2j，对于f(x)∈L2(-∞,+∞)，相应的离散小波变换为

(2)

信号f(x)在j尺度下的细节细节小波系数为

(3)

(4)

离散小波的重构公式为

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离散小波函数在j尺度的细节函数为

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离散小波函数在j尺度的概貌函数为

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1.2 基于小波变换的损伤识别方法

结构损伤后的位移或加速度时程曲线可能看起来光滑，不存在突变的地方。但对信号进行一阶微分，可以看到位移或是加速度的一阶微分曲线存在突变点，信号的突变点常对应于信号的间断点。小波函数可以被看做是某一函数的二阶导数，小波分析后小波变换模的过零点和局部极值点则为信号的突变点，因此利用小波变换分析信号突变具有十分重要的应用。同时由于小波分析在时域和频域的局部特性以及“变焦”的特性，因此，常被用于信号奇异点位置的检测。

Lipschitz指数常用于表征小波分析的信号是否存在奇异点，因此Mallat等学者建立起Lipschitz指数与α的关系。α越大，表征奇异性越弱；α越小，表征奇异性越强。根据小波理论可以看出，若信号f(x)在x0处为信号突变点，那么在x0附近存在局部极大值点，局部极大值收敛于x0。

1.3 小波基函数的选择

在小波变换中选择不同的小波基函数对信号识别产生不同的效果。……