陈 璞 杜 晖 孙树立 傅向荣

∗(北京大学工学院力学与工程科学系，北京100871)

†(中国农业大学水利与土木工程学院，北京100083)

梁单元无疑是有限元分析中应用最为广泛的单元之一。为了满足各种工程需求，梁单元常常可能要求具备以下特性或功能：

(1)剪切变形；

(2)端头刚域，梁−柱交汇处的区域；

(3)部分刚接，梁−柱交汇等处的刚度损失；

(4)端头铰接，梁−柱交汇等处的构造或刚度缺失；

(5)截面变化，例如桥梁等大跨结构；

(6)部分偏心，例如与墙柱相连的外立面梁；

(7)几何刚度，轴向力引起的附加刚度；

(8)轴线为曲线，例如：拱。

在中外文献中关于梁单元的形成方法层出不穷，这里不一一列举，但大部分文献或只考虑某一特定的单元形式，或形成方案过于繁琐，不宜在工程软件中获得应用。本文从工程实用的角度出发，着重讨论前5类功能在长为L的二维平面梁单元中的统一实现，读者不难将其推广至三维情形。

1 梁单元刚度矩阵的统一形成方式

以Timoshenko梁(T−梁)讨论刚度矩阵以及载荷向量的形成方案，Euler梁(E−梁)可以作为T−梁的一个特例。为了处理变截面梁、端头刚域以及端头部分刚接，我们以柔度法为讨论重点。

1.1 梁单元与相应的简支梁单元

考虑一个置于Oxy平面内长为L的梁单元，其主轴与x轴重合，左端与原点O重合。与标准的有限元教材[1-2]稍许不同，考虑到单元的通用性，工程软件中梁单元的4×4刚度矩阵(这里只考虑弯曲部分)往往不是按相应的公式直接形成的，而是通过简支梁或悬臂梁的2×2刚度矩阵扩张得到的。……