王怀磊

(南京航空航天大学振动工程研究所，南京210016)

(南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016)

线性N自由度无阻尼振动系统的运动微分方程(组)为

其中u为N自由度位移向量，K为系统刚度矩阵，M为系统质量矩阵。在求解该方程的固有振动时，可首先假设其具有同频率、同相位但不同振幅的固有振动形式解

其中ω和θ为待求实标量参数，在力学体系中分别代表固有频率和初相位，φ为待求非零N维实向量，代表固有振型。将式(2)代入式(1)，得到这一运动形式存在的必要条件为：存在非零实向量φ，满足

或记作

按照线性代数理论，方程(4)属于矩阵束K和M的广义特征值问题，其中标量λ和对应的非零向量φ分别称为广义特征值和广义特征向量。显然，方程(4)具有非零向量解的充要条件为

这是一个关于λ的一元N次代数方程，称为方程(1)的特征方程。求解矩阵广义特征值问题(4)就是先由特征方程(5)解出特征根λr,r=1,2,···,N，然后逐一代回式(3)，寻求齐次线性代数方程的非零向量解φr,r=1,2,···,N的过程。

由于式(2)所假设的形式解代表实际的物理振动，因此其中各项参数都必须为实数，这就要求方程(4)必须有非负实特征值λ=ω2和对应的实特征向量φ。换句话说，如果要说明系统(1)存在如式(2)所示的固有振动形式解，必须要首先证明矩阵广义特征值问题(4)存在非负的实特征值λ。否则，如果尚不清楚非负实特征值和实特征向量是否存在就对式(4)进行左乘φT的操作，并进一步根据质量矩阵的正定性及刚度矩阵的半正定性判定出λ为非负实数，就会陷入逻辑上的循环论证，有可能导致错误的结论。……