唐启见 湖南软件职业学院

一、圆的构建

圆形是在GUI设计过程中不可规避的重要图形，可以通过确定“一点一线”来描述一个圆形，“一点”为圆心，“一线”为圆的半径，圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。圆形及圆弧的生成算法主要有数值微分法、Bresenham画圆算法和中点画线法等。

由于圆形是一个对称的结构，不但左右对称，而且中心对称，所以利用Bresenham画圆算法只需要绘制出圆的一段圆弧，然后通过对称复制的方法即可实现整个圆的绘制。首先确定目标圆的圆心，然后以圆心为坐标原点建立对称坐标系，如先绘制第一象限的1/8段圆弧(如图1所示)。设最先确定的逼近像素点Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，那么在圆弧附近有两个或者多个逼近像素点，如图1中的Si(xi-1+1,yi-1)和Ti(xi-1+1,yi-1-1)点，在这两个点的选择时需要计算这两个点离理论圆弧的距离，选择离理论圆弧比较近的那个点作为圆弧构建的下一个像素点，以此类推，可以形成一段1/8段圆弧。下面来讨论一下Si点和Ti点到理论圆弧的距离，设Si点和Ti点到理论圆弧的距离分别为D(Si)、D(Ti)，计算公式如下：

图1 Bresenham算法构建1/8段圆弧

因为Si点和Ti点的坐标分别为(xi-1+1,yi-1)、(xi-1+1,yi-1-1)，那么Si点和Ti点分别离坐标原点即圆心的距离的平方分别为：(xi-1+1)2+yi-12、(xi-1+1)2+(yi-1-1)2，将它们与圆的半径的平方做差就可以得出Si点和Ti点离理论圆弧的距离大小了。假设Si点在圆弧的外部，Ti点在圆弧的内部。

D(Si)=[(xi-1+1)2+yi-12]-R2

D(Ti)=R2-[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2]

令di=D(Si)-D(Ti)，如果di＞0，说明Ti点比Si点更靠近理论圆弧，即选择Ti点更合适；反之选择Si点。

di=D(Si)-D(Ti)=[(xi-1+1)2+yi-12]-2R2+[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2] (1)

将i+1代入(1)式中，得：

di+1=[(xi+1)2+yi2]-2R2+[(xi+1)2+(yi-1)2]

将di+1-di，得：

di+1-di=2[(xi+1)2-(xi-1+1)2]+(yi2-yi-12)+(yi-1)2-(yi-1-1)2

如果di≥0，则选择Ti点，即：

xi=xi-1+1，yi=yi-1-1，di+1=di+4(xi-1-yi-1)+10

若di＜0，则选择Si点，即：