张瑞丰， 朱晓凡

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

1948年，Shannon将统计物理中的概念引申到通道通信的过程中时提出了Shannon熵的概念，开创了“信息论”.随后，1959年，Kolomogorov和Sinai借助Shannon信息论中的思想，引入了测度熵的概念，首次将熵与动力系统结合起来.之后Adler，Konheim和McAndrew于1965年在拓扑动力系统中用开覆盖定义了连续映射的拓扑熵.1971年，Bowen利用分离集和张成集给出了拓扑熵的等价定义.

1971年，Ruelle[1]首次严格的给出了初值敏感依赖的定义，受到人们的广泛关注.1986年，Devaney把初值敏感依赖作为定义动力系统混沌的重要条件，给出了比Li-Yorke混沌更直观的定义——Devaney混沌.熵和敏感性都是反映系统复杂程度的重要指标，敏感性和熵之间的关系也一直是专家学者感兴趣的研究方向.2005年Cadre和Jacob在文献[2]给出了两两敏感的概念，并说明弱混合蕴含两两敏感，同时证明了正熵蕴含两两敏感.之后，2012年，Domenico Aiello和Hansheng Diao[3]在其基础上给出了限制敏感性和限制两两敏感的定义，并研究了限制敏感性、限制两两敏感性与测度熵之间的关系.

2 准备知识

Λn={g=(g1，g2，…，gd)∈d∶|gi|

λn=#Λn，#Λn代表集合Λn中元素个数.

定义1[6]设(X，B，μ)是一个概率空间，G为作用在空间上的d-作用，若对∀g∈Λn和∀B∈B，都有

g-1B∈B且μ(g-1B)=μ(B)，

则称(X，B，μ，d)是一个保测系统.

定义2[6]设(X，B，μ，d)是一个保测系统，如果对任意∀g∈Λn满足g-1B=B的B∈B，必有μ(B)=0或μ(B)=1，那么称系统(X，B，μ，d)是遍历的.

定义3[6]设(X，B，μ)是一个概率空间，μ∈M(X)，G为作用在空间上的d-作用A={A1，A2，…，Ak}是一个有限可测剖分，定义剖分A测度熵为

进一步定义G关于剖分A的测度熵为

定义G关于μ的测度熵为

hμ(G)=suphμ(G，A)，

这里A取遍X所有有限可测剖分.

定义4(X，B，μ，d)是一个保测系统，ρ是X上与测度μ相容的度量.如果对μ-a.e.x∈X，存在δ>0，a>0，使得对所有ε>0，存在n∈，及存在g∈Λn有

μ{y∈Bε(x)∶ρ(gx，gy)>δ}>0，

则称(X，B，μ，d)是限制敏感的.

定义5(X，B，μ，d)是一个保测系统，ρ是X上与测度μ相容的度量.如果存在a>0，δ>0使得对μ×μ-a.e.(x，y)∈X×X，存在n∈，及存在g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ，

则称(X，B，μ，d)是限制两两敏感的.

称δ为敏感性常数，a为渐进率，根据定义，如果δ为敏感性常数，则任意δ′<δ也是敏感性常数；如果a为渐进率，则任意a′>a也是渐进率.

3 主要结果及证明

性质1设(X，B，μ，d)是一个保测系统，ρ是X上与测度μ相容的度量，且ρ是μ-正则的，如果(X，B，μ，d)是限制两两敏感的，则其也是限制敏感的.

证假设(X，B，μ，d)是有限制两两敏感常数δ和渐进率a的限制两两敏感的，由定义可知对a.e.x∈X，a.e.y∈X，存在n∈，及∃g∈Λn，使得ρ(gx，gy)>δ.

因为ρ是μ-正则的，对上述x，取c>0，使得

(1)

考虑对任意ε≤δ，εΜ=sup{ε′<ε∶μ(Bε′(x))<μ(Bε(x))}.若μ(BεM(x))=μ(Bε(x))，则取ε′<εM非常接近εM，使得

μ(Bε(x)Bε′(x))>0，μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x)).

(2)

μ(Bε(x)Bε′(x))>0.

根据(1)式可得

(3)

根据上述x和ε′，对a.e.y∈Bε(x)Bε′(x)，存在n∈，及∃g∈Λn，有ρ(gx，gy)>δ.

由(2)，(3)式可知

μ(Bρ(x，y)(x))≥μ(Bε′(x))≥cμ(Bε(x))，

故

所以(X，B，μ，d)限制敏感的.

性质1说明了在ρ是μ-正则的情况下，限制两两敏感性比限制敏感性强.敏感性和熵都是反映动力系统复杂程度的量，自然地，想要研究敏感性与熵之间的关系.文献[7]中给出了amenable群作用系统下非遍历情形的Shannon-McMillan-Brieman定理，amenable群包括所有的有限群，紧致群和可解群，d是一类特殊的amenable群.

引理1(Shannon-McMillan-Brieman定理：非遍历情形) 设(X，B，μ，d)为一个保测系统，G为一个可数离散amenable群，对G中任何满足增长条件的temperedFφlner序列{Fn}以及X的有限可测剖分P，对μ-a.e.x∈X都有

且

定理1设(X，B，μ，d)是一个保测系统，μ是X上的无原子概率测度，ρ是X上与测度μ相容的度量，且是μ-正则的，令A={A1，A2，…，Ak}是X的一个有限可测剖分使得对所有∀i有diamAi<δ，令hμ(G，A)是G关于剖分A的测度熵.如果(X，B，μ，d)是有渐进率a和限制两两敏感常数δ的限制两两敏感的，则有

证假设(X，B，μ，d)是有限制敏感常数δ和渐进率a的限制两两敏感的，由定义知：选x∈X使得对μ-a.e.y∈X，存在n∈，及∃g∈Λn使得

ρ(gx，gy)>δ.

(4)

ρ(gx，gy)<δ， ∀g∈Λn

(5)

由于ρ是μ-正则的，存在c>0使得

因为μ是无原子概率测度，故当r→0时，μ(Br(x))→0.对任意的整数n，令εn满足

e-(n-1)c>μ(Bεn(x))≥e-nc.

于是

两边取对数得

即

由题设可知(X，B，μ，d)是有限制敏感常数δ和渐进率a的限制两两敏感的，则存在

及存在g∈Λi，使得ρ(gx，gy)>δ.由(5)可知y∉Cn(x)，断言得证.

故由断言得

令

由Shannon-McMillan-Brieman定理

定理1说明了对于一个保测系统来说，限制两两敏感意味着正测度熵，自然地，想要知道限制敏感与熵之间的关系.在证明定理2的过程中要用到文献[8]中的amenable群作用下遍历版本的 Brin-Katok熵公式：

其中BFn(x，ε)={y∈X∶ρFn(x，y)<ε}={y∈X∶ρ(gx，gy)<ε，对任何g∈Fn}.

定理2设(X，B，μ，d)是一个遍历系统，μ是无原子概率测度，ρ是X上与测度μ相容的度量.如果则对所有x∈X，(X，B，μ，d)是有渐进率a和敏感常数δ的限制敏感的.

证假设对所有x∈X，(X，B，μ，d)不是有渐进率a和敏感常数δ的限制敏感的.存在一个正测集A，使得对∀x∈A和δ>0，存在ε(δ)≤δ，对所有n∈，及∀g∈Λn，有

μ{y∈Bε(δ)(x)∶ρ(gx，gy)>δ}=0，

(6)

对这样的n，令

ρn(x，y)∶=max{ρ(gx，gy)∶∀g∈Λn}，Bn(x，δ)={y∈X∶ρn(x，y)≤δ}，

ρ(gx，gy)≤δ， ∀g∈Λn

(7)

故

利用Brin-Katok熵公式，存在x∈A使得

与已知条件矛盾，假设不成立，所以对所有x∈X，(X，B，μ，d)是有渐进率a和敏感常数δ的限制敏感的.

4 结 论

致谢非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.