李健文，朱昊天，胡军平，梁文斯钰，赖伊倩，吴子明，吴 琦

(南昌工程学院 理学院，江西 南昌 330099)

石墨烯是一种二维材料，可以通过微机械裂解的技术获得[1]。石墨烯每个碳原子通过长度为1.42埃的共价键连接到其它三个碳原子，实现sp2杂化。由于石墨烯具有许多独特性质，在过去的二十年里，石墨烯已经成为凝聚态物理中最有活力的领域之一[2-3]。这些性质包括线性色散关系、高迁移率、非比寻常的量子霍尔效应和热电输运等[4-6]。对这些性质的研究为微电子学、自旋电子学、半导体和其他应用领域开辟了新的途径。

通过不同方式切割极大的石墨烯片，可以获得锯齿型或扶手椅型边缘结构的准一维石墨烯纳米带(GNRs)，它们是宽度小于50nm的单层石墨烯细条[7]。研究人员发现扶手椅型石墨烯纳米带没有边缘态，而锯齿型石墨烯纳米带(ZGNRs)则存在局域边缘态，这对其电子性质有很大影响[4，8-9]。理论和实验上的研究发现ZGNRs的电子输运特性显示出许多有趣的现象，使它成为自旋电子学等技术进步的合适候选材料[10-12]。在实验上，ZGNRs相对容易获得，它们的边缘非常有利于与其他原子以及化合物成键。石墨烯纳米带的光谱取决于它们边缘的性质。

非平衡格林函数(NEGF)方法是研究电子输运性质的有效方法，其准确性和自适应性较好。有研究人员利用NEGF方法重点研究了ZGNRs的边缘粗糙度、表面粗糙度、空位缺陷、应变效应等对电子输运性质的影响[13-18]。然而，从微观角度分析超胞内原子数变化对电子输运特性的影响是非常重要的，还需进一步研究，因为它会直接影响电子的透射。此外，从应用角度考虑，这一模拟工作也是重要的。

鉴于此，本文利用基于最近邻紧束缚近似的NEGF方法计算了ZGNRs的能带结构、透射系数、态密度等电子性质。为了高效计算电极的表面格林函数，采用了Sancho-Rubio快速迭代算法[19]。

1 模型和计算方法

1.1 模型

研究的ZGNRS如图1所示，左右两端分别连接两个半无限长电极；中间矩形虚线框表示超胞；N表示锯齿型石墨烯链的条数。

图1 中心器件连接到左、右半无限长电极的示意图。 中间的矩形虚线框表示的是超胞，N是锯齿型石墨烯链的条数

为了研究ZGNRS的电子输运，考虑紧束缚模型，这是一个正交的π轨道模型。系统的哈密顿量为

(1)

1.2 电子透射和非平衡格林函数

可以将整个系统分为三个不同的区域，即左电极、中心器件、右电极。在本工作中，主要对系统中心区域的电子动力学感兴趣。

透射系数T是能量E的函数，表示在中心器件一端注入的电子透射到另一端的概率。透射系数可以用中心器件的格林函数和中心器件与电极的耦合来表示：

T(E)=Tr(ΓRGrΓLGa)，

(2)

其中Tr表示对整个空间自由度求迹，

(3)

是描述器件与半无限长电极之间耦合的谱函数，超前格林函数Ga是整个系统计入自能的推迟格林函数Gr的厄米共轭。Gr定义为

(4)

其中E是电子的能量，I是单位矩阵，H是紧束缚哈密顿矩阵，η是无限小的量，引入η的目的是消除奇点(绕过奇异点，这里的取值为10-5eV)。通过计算推迟格林函数，除了可以得到透射系数外，还可以得到态密度等。态密度(DOS)定义为

(5)

左、右两电极引起的推迟自能项

(6)

和

(7)

其中gL和gR分别是左、右半无限长电极的表面格林函数。显然，超前自能是推迟自能的厄米共轭。在最近邻紧束缚近似中，只考虑中心器件与电极之间的最近邻点耦合时HLC和HCR才不为零。显然，问题的关键是如何获得半无限长电极的表面格林函数。接下来将阐述一种计算半无限长电极的表面格林函数的有效方法——Sancho-Rubio算法[19]。

1.3 Sancho-Rubio算法

为了计算表面格林函数的方便，把整个系统看成由大量小块组成，每个小块为一个超胞，并为这些小块标上号码。中心器件的号码依次为1，…，M，左电极的最右边小块标为0，右电极的最左边小块标为M+1。

求解左、右电极的表面推迟格林函数需要用到戴松方程

g=g(0)+g(0)Vg，

(8)

其中g(0)是小块之间无相互作用时的格林函数，g是考虑小块之间相互作用后的格林函数，V是小块之间的相互作用。由此可推得左、右电极的表面推迟格林函数分别为

(9)

和

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

而两个初始值由下面两式定义

(15)

(16)

2 数值结果和讨论

图2给出的是最近邻紧束缚近似下锯齿型石墨烯链的条数N不同时的能带结构图。注意到在导带中有许多子带。一个显著特征是，在ka/π=1.0处，最高价带和最低导带相交。在费米能附近出现了部分简并平带，处于这些简并平带的电子完全局域在ZGNRS边缘位置[20]。虽然边缘态具有非键合特性，但是从石墨烯纳米带的两侧的能带重叠产生键合和反键合构型。从而实现了这些态沿纳米带的弱色散，结果形成了电子输运的一个通道。单通道能量区的大小δ随着纳米带宽度的增加而减小。随着N的增大，简并平带的宽度越来越大。第二低导带有一个下降，而第二高价带有一个上升，N增加时子带数目增多，子带更接近。计算发现各种宽度的ZGNRS的带结构相类似，零能态出现在费米能零点，带隙都为零，带结构具有金属性。

图2 能带结构。(a)、(b)、(c)分别对应N=6、10、32

图3是锯齿型石墨烯链的条数N不同时的透射系数随能量变化的关系图，图3(a)～(c)分别对应N=6、10、32。透射系数可以由式(2)～(4)式计算得到。从图3看出，在费米能附近，透射谱出现了一个平缓的区域，显示了导带与价带之间的带隙特征。这说明体系在这个能量范围内几乎没有电子通过。图3(a)中透射系数为1时的平缓区域能量范围在-1.8eV与1.8eV之间。相比图3(a)，发现N=10时透射系数为1对应的能量范围减小，N=32时能量范围进一步减小。透射系数的一个重要特征是出现了量子化台阶。随着N的增大，ZGNRS的透射系数的台阶数也增加。在高能态，电子隧穿过势垒，导致更大的透射系数，透射系数的峰值也增大。这是由于N较大时，ZGNR的电子能带更多，因而可以开启更多的电子通道数目。这意味着电子可以通过中心器件而不经历电子—杂质、电子—声子、声子—声子等散射。

图3 透射系数 图4 N=10的透射系数能带结构

因为电子输运性质由其能带结构决定，为了更好的对比，将N=10时的透射系数和能带结构放在一起，如图4所示。很明显，透射系数出现了量子化台阶。能量增加时，可用的电子能带的数目也在增加。电子能带增加一条时，电子通道多开辟一个，透射系数也增加一个台阶。N=10时，最多可达10个通道。但是能量再增加后，电子通道数目又逐渐减少，透射系数也随着减小。值得注意的是，因为锯齿型石墨烯纳米带具有金属性，在费米能附近，透射系数并没有减小到零。

根据式(4)和式(5)，计算了锯齿型石墨烯链的条数N不同时的DOS，如图5所示。发现在费米能附近的态密度出现了一个很高的峰。这是由奇异的能带结构导致的。这一个峰对应的是边缘态，因为它们在空间上位于锯齿型石墨烯纳米带的两个边缘。在开始阶段DOS随着E的增加而增加，这说明有更多的电子实现了透射。但是后来随着E的增加DOS反而减少，意味着透射的电子数也减少。随着N的增加，费米能附近DOS的波动进一步加剧。

图5 态密度

3 结束语

利用基于最近邻紧束缚近似的非平衡格林函数技术得到了锯齿型石墨烯纳米带宽度不同时的能带结构、透射系数和态密度。研究发现Sancho-Rubio快速迭代算法可以方便、高效地用来计算电子输运中的表面格林函数。结果表明，透射系数出现了量子化台阶。中心器件的宽度增大时，可用的电子能带的数目和透射系数的台阶数也增加。电子能带增加一条时，电子通道多开辟一个，透射系数也增加一个台阶。将在以后的工作中进一步研究有各种缺陷时石墨烯纳米带以及其他纳米器件的电子输运特性。