王 泓 萱

(重庆师范大学 数学科学学院， 重庆 401331)

0 引言

迭代根是指已知函数自复合的结果,而反过来寻找函数本身的问题.这是一个动力系统理论中的重要问题.具体地说,一个函数g的n次迭代gn可被递归地定义为

g0(x)=x,gn+1(x)=g∘gn(x),

n=0,1,2….

如果对一个整数n≥2有

gn=f,

则说g是f的一个n阶迭代根[1].近年来,迭代根问题引起了越来越多研究者的兴趣,在圆的自映射[2]、集值函数[3]、高维映射[4]等方面取得了许多进展.此外,人们还讨论了迭代根问题在工业生产中的应用[5].实际上,在钢条的加工过程中会按一系列相同的机制对钢材进行轧制,以将其直径减小到所需的尺寸.这个过程实际上是由简单过程的n次重复组成的,因此通过计算n阶迭代根人们便能很好地掌握轧制过程中钢材直径参数的变化情况,而这些参数是无法在生产过程中直接测量的.

本文主要关注区间(-∞,+∞)上严格单调函数的Cr迭代根,与文献[8]不同的是,本文不仅把有界闭区间扩展到了(-∞,+∞),还考虑了所有递增、递减的单调情形,具体分为以下三类:

(1)严格递增函数的Cr递增迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的严格递增函数,g(x)是f(x)的Cr递增迭代根,其中n≥2为任意正整数;

(2)严格递减函数的Cr递减迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的严格递减函数,g(x)是f(x)的Cr递减迭代根,其中n≥3且为奇数;

(3)严格递增函数的Cr递减迭代根:f(x)是(-∞,+∞)上的严格递增函数,g(x)是f(x)的Cr递减迭代根,其中n≥2且为偶数.

1 Cr递增迭代根

引理[14]若Cr类的一个非线性微分同胚f在x=0处是双曲的,r>1且为正整数,那么f局部共轭于一个Cr线性微分同胚φ,即f=φ-1∘λ∘φ且φ′(0)≠±1,其中λ∈.

定理1设Cr类的一个非线性微分同胚f在x=0处是双曲的,其中r>1且为正整数,f在(0,+∞)上严格递增,令x-1,x-2,…,x-n为(0,+∞)中的任意点,其中n≥2且为任意正整数.令

xv-n=f-1(xv),v=0,-1,-2,…,

(1)

且

f(x-1)

令函数g0(x),g-1(x),…,g-n+2(x)分别是区间[x-1,x-2],[x-2,x-3],…,[x-n+1,x-n]上的Cr严格递增函数,

gv-n+1(x)=gv-n+2-1∘gv-n+3-1∘…∘gv-1-1∘gv-1∘f(x),

v=0,-1,-2,…,

(2)

定义函数gv(x),x∈[xv-1,xv-2]，则g(x)=gv(x)在(0,+∞)中定义了方程gn(x)=f(x)的一个Cr严格递增迭代根,其中n≥2且为任意正整数.

证明由引理知,可设函数φ(x),x∈(0,+∞)严格递增,f(x)=φ-1∘λ∘φ(x),x∈U1,这里U1是0点的右去心圆形邻域.不妨设x-1,x-2,…,x-n∈U1,令初始函数

gi(xi-1)=xi,gi(xi-2)=xi-1,i=0,-1,…,-n+2,

根据式(1)和式(2)用数学归纳法可证明函数g(x)在每个连接点x=xv-n,v=0,-1,-2,…处满足

gv-n+1(xv-n)=xv-n+1,gv-n+1(xv-n-1)=xv-n,v=0,-1,-2,…,

(3)

从而在(0,+∞)上定义了一个严格递增函数g(x).

下面证明函数g(x)在(0,+∞)上是Cr的,考虑函数g(x)在各个连接点处的r阶导数.令

由莱布尼茨公式及数学归纳法可以得到

(4)

(5)

其中，i=-1,-2,….

事实上当r=1,x∈U1时,g0(x),g-1(x),…,g-n+2(x),f都由φ定义,则

g-n+1′(x)=

(g-n+2-1)′(g-n+3-1∘…∘g0-1∘f(x))·

(6)

(7)

x∈(0,+∞)但x∉U1那些点,由于式(4)和式(5)展开式所包含的各项形式相同,根据式(1-3)可以知道gi-n+2(r)(xi-n)与gi-n+1(r)(xi-n)是否相等仅仅与gi-n+3(r)(xi-n+1),gi-n+2(r)(xi-n+1),i=-1,-2,…有关,则gi-n+2(r)(xi-n)=gi-n+1(r)(xi-n).

综上,函数g(x)在每个连接点x=xv-n,v=0,-1,-2,…，处有

gv-n+2(r)(xv-n)=gv-n+1(r)(xv-n),v=0,-1,-2,….

由式(2)可以知道,函数gv(x),x∈[xv-1,xv-2]是Cr的,也就是说函数g(x)在(0,+∞)上是Cr的.关系式(2)表明

gv∘gv-1∘…∘gv-n+2∘gv-n+1(x)=f(x),x∈[xv-2,xv-3].

根据式(3)得到gn(x)=f(x),x∈[xv-2,xv-3].因为v是任意的,则(0,+∞)中Cr严格递增函数g(x)满足方程gn(x)=f(x),其中n≥2且为任意整数.

2 Cr递减迭代根

定理2设Cr类的一个非线性微分同胚f在x=0处是双曲的,其中r>1且为正整数,f在(-∞,+∞)上严格递减,令x0,x2,…,xn-1为(0,+∞)中的任意点,x1,x3,…,xn-2为(-∞,0)中的任意点,其中n≥3且为奇数.令

xv+n=f(xv),v=0,1,2,…,

(8)

且

x0x3>…>xn-2>f(xn-3)>-∞.

令函数g1(x),g2(x),…,gn-1(x)分别是区间[x0,x2],[x3,x1],…,[xn-3,xn-1],[xn,xn-2]上的Cr严格递减函数,

gv+n(x)=f∘gv+1-1∘gv+2-1∘…∘gv+n-1-1(x),v=0,1,2,…,

(9)

定义函数gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],那么g(x)=gv(x)在(-∞,+∞)中定义了方程gn(x)=f(x)的一个Cr严格递减迭代根,其中n≥3且为奇数.

证明由引理知,可设函数φ(x),x∈(-∞,+∞)严格递增,f(x)=φ-1∘λ∘φ(x),x∈U2,这里U2是以0点为心的圆形邻域.那么,不妨设x0,x1,…,xn-2,xn-1∈U2,令初始函数

……

gi(xi-1)=xi,gi(xi+1)=xi+2,i=1,2,…,n-1,

根据式(8)和式(9)用数学归纳法可证明函数g(x)每个连接点x=xv+n,v=0,1,2,…处满足

gv+n(xv+n-1)=xv+n,gv+n(xv+n+1)=xv+n+2,v=0,1,2,…,

(10)

又g(x)=gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],由此定义了一个在(-∞,+∞)上严格递减函数g(x).

下面证明函数g(x)在(-∞,+∞)上是Cr的,此时考虑函数g(x)在各个连接点处的r阶导数.令

根据式(10),由莱布尼茨公式,运用数学归纳法可以得到

(11)

(12)

其中，i=3,4,….

事实上,当r=1,x∈U2时,g0(x),g1(x),…,gn-1(x),f都由φ定义,则,

(13)

(14)

由于式(13)和式(14)的展开式各项具有相同的形式,则gn-2(r)(xn-1)是否与gn(r)(xn-1)相等仅仅与gn-2(r-1)(xn-1)=gn(r-1)(xn-1)有关;此外,gn-2′(xn-1)=gn′(xn-1),从而可以得到gn-2(r)(xn-1)=gn(r)(xn-1).同理,当求r-1阶导数时,有gn-1(r-1)(xn)=gn+1(r-1)(xn)成立,易知gn-1(r)(xn)=gn+1(r)(xn).

x∈(-∞,+∞)但x∉U2那些点,由于式(11)和式(12)的展开式所包含的各项形式相同,根据式(8-10)可以知道gi+n-2(r)(xi+n-1)与gi+n(r)(xi+n-1)是否相等仅仅只与gi+n-4(r)(xi+n-3),gi+n-2(r)(xi+n-3),i=3,4,…有关系,又由于gn-2(r)(xn-1)=gn(r)(xn-1),gn-1(r)(xn)=gn+1(r)(xn),从而gi+n-2(r)(xi+n-1)=gi+n(r)(xi+n-1).

综上，函数g(x)在每个连接点x=xv+n,v=0,1,2,…,处有

gv+n-1(r)(xv+n)=gv+n+1(r)(xv+n),v=0,1,2,….

由式(9)可以知道,函数gv(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1]是Cr的,也就是说函数g(x)在(-∞,+∞)上是Cr的.关系式(9)表明

gv+n∘gv+n-1∘…∘gv+2∘gv+1(x)=f(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1],

根据式(10)得到gn(x)=f(x),x∈[xv-1,xv+1]或[xv+1,xv-1].因为v是任意的,则(-∞,+∞)中Cr严格递减函数g(x)满足方程gn(x)=f(x),其中n≥3且为奇数.

定理3设Cr类的一个非线性微分同胚f在x=0处是双曲的,其中r>1且为正整数,且f在(-∞,+∞)上严格递增,令x0,x2,…,xn-2为(0,+∞)中的任意点,x1,x3,…,xn-1为(-∞,0)中的任意点,其中n≥2且为偶数.令

xv+n=f-1(xv),v=0,1,2,…,

且

f(x0)x1>x3>…>xn-1>-∞.

令函数g0(x),g1(x),…,gn-2(x)分别是区间[x0,x2],[x3,x1],…,[xn-3,xn-1],[xn-2,xn]上的Cr严格递减函数,

gv-n+1(x)=f∘gv-n+2-1∘gv-n+3-1∘…∘gv-1-1∘gv-1(x),v=0,1,2,…,

定义函数gv(x),x∈[xv,xv+2]或[xv+2,xv],则g(x)=gv(x)在(-∞,+∞)中定义了方程gn(x)=f(x)的一个Cr严格递减迭代根,其中n≥2且为偶数.

证明由引理知,可设函数φ(x),x∈(-∞,+∞)严格递增,f(x)=φ-1∘λ∘φ(x),x∈U3,这里U3是以0点为心的圆形邻域.不妨设x0,x1,…,xn-2,xn-1∈U3,其中n≥2且为偶数.令初始函数

是Cr严格递减的,其中n≥2且为偶数.证明过程与定理1和定理2类似,在此不再赘述.

3 例子