程攀攀 何志红

摘 要：2020年，Tan提出猜想：所有的三正则有向图除D73，D83和D2n2外都包含两个不同长度且不相交的圈。Tan证明了围长为3和4的三正则有向图对于这个猜想均成立。受此启发，本文证明这个猜想对于围长为5且具有至少4个圈的圈因子的三正则有向图也是成立的。

关键词：三正则有向图;圈因子;不交圈

中图分类号：O157.6  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2021）01-0001-03

1 引言与预备知识

设D=（V，A）为一有向图，其中顶点集合为V（D）（或简写为V），弧集合为A（D）（或简写为A），除特别说明外，本文中研究的有向图均为有限简单有向图（不包含多重弧和自环），关于有向图用到的符号见参考文献[1]。

对于有向图D中的任意一个顶点v，定义如下集合

ND+（v）={u∈V-v：vu∈A}，

ND-（v）={w∈V-v：wv∈A}。

这里ND+（v）表示顶点v的出邻集，ND-（v）表示顶点v的入邻集，ND+（v）和ND-（v）中的顶点分别表示v的出邻点和入邻点。dD+（v）表示顶点v的出度，即v的出邻点个数（dD+（v）=|ND+（v）|），ND-（v）表示顶点v的入度，即v的入邻点的个数（ND-（v）=|ND-（v）|）。若对D中任意一个顶点v都有dD+（v）=dD-（v），则称有向图D为k正则有向图。

本文中提到的圈（路）均为有向圈（路），不相交的圈指的是顶点不相交的圈，围长是指一个有向图中最短圈的长度。如果u∈V（C），则用u-和u+分别表示C上u的前趋和后继，同样的，u- -和u++分别表示C上u-的前趋和u+的后继。若F=C1∪C2∪…∪Ct为有向图D的生成有向子图且C1，C2，…，Ct为两两不相交的圈，则称F为有向图D的一个圈因子。如果C=v0v1…vl-1v0是D中一个长度为l的圈，并且vi，vj∈V（C），这时viCvj表示的是vi，vi+1，vi+2，…，vj（指标模l）这个有序列。另外，根据文献[2]得知有向图D73，D83和D2n2（n≥2）的定义为：

D2n2=（V，A），其中V={xi，yi|i=0，1，…，n-1}，A={xiyi， yixi，xixi+1，xiyi+1，yixi+1，yiyi+1|i=0，1，…，n-1}（这里的指标是模n的）;

D73=（V，A），其中A={vivj|（j-i）（mod7）∈{1，2，4}}，V={v0，v1，…，v6};

D83=（V，A），其中V={v0，v1，…，v5，t，w}，A=A1∪A2∪A3，这里A1={vi，vj|j-i=1 or 2（mod6）}，A2={tvi，viw|i=0，2，4}，A3={wvi，vit|i=1，3，5}。

Thomassen[3]和Lichiardopol[4]等研究了有向圖中不交圈的问……