王思雨，丁 亮

(东北林业大学)

0 引言

该文研究非线性不适定算子方程

F(x)=y

(1)

(2)

(3)

对于非线性不适定问题，elastic-net正则化在应用方面也有一定的研究.2010年，Umanità等人对elastic-net正则化解的渐进性质进行了严格的研究[10].2012年，Jin和Maass的研究集中在这类具有非线性算子泛函的正则化性质[11].2018年，Wang等人研究了用快速迭代阈值算法(FISTA)求解elastic-net正则化[12].证明基于EN的PC-EnKF与基于PC的迭代旋转方法相结合非常适合于高维非线性逆建模.2019年，Wang等学者考虑到l2-罚项总是使解过于光滑，l1-罚项总是使解过于稀疏的事实，将elastic-net正则化方法用于严重不适定非线性EIT反问题[13].

以上内容是elastic-net 正则化在非线性问题中的应用.目前，非线性反问题的elastic-net正则化理论还处于空白状态，在理论分析及数值方法上还有许多亟待解决的问题.故该文的主要目的是分析基于非线性不适定问题的elastic-net正则化解的存在性，稳定性和收敛性.特别是在适当的源条件下，建立正则化解的收敛速度.

1 Elastic-net正则化的性质

Rα,β(x)=αRη(x) ，

(4)

(5)

因此(3)可以转化为如下形式：

(6)

(7)

接下来证明正则化解的存在性、稳定性和收敛性.

定理1 假设非线性算子F:l2→Y是弱序列闭的，对所有α>0，(3)存在一个解.

证明由于Rα,β(x)≥0是适当的，因此存在一个最小值序列{xk}，使得

(8)

由式(8)可知‖xk‖l1，‖xk‖l2和‖F(xk)‖是一致有界的.因此，存在一个子序列{xkj}和一个元素x*使得在l2空间中{xkj}弱收敛到x*.由于F是弱序列闭的，则F(xkj)→F(x*)，弱下半连续的形式意味着

(9)

由于l1-范数及l2-范数是下半连续的，有x*∈l2且

(10)

由(8)、(9)及(10)可知x*是Φα,β(x)的一个最小值解.

接下来证明正则化解的稳定性.

证明xn的最小化性……