邓 琳，郑克礼，徐金利

(东北林业大学)

0 引言

设Mm和Sm分别是复数域C上m×m全矩阵和对称矩阵全体，Pm是Sm中全体幂等矩阵构成的子集，即Pm={A∈Sm:A2=A}. Chan最早研究了Mm上保持矩阵幂等性映射的结构[1]，之后佟鑫和曹重光研究了对称矩阵空间之间保持矩阵幂等性的映射结构[2]，得到了以下定理：

定理1.1[2]设m≥n，线性映射Ψ:Sm→Sn保持矩阵幂等性，即

A∈Pm⟹φ(A)∈Pn

当且仅当φ=0或m=n且存在正交矩阵T∈Mmm使得

φ(X)=TXT-1,∀x∈Sm.

近年来，李志光教授将矩阵保持问题与量子信息科学联系起来，提出矩阵张量积空间上的保持问题.该问题将不变量的范围缩小到纯张量的范围，其潜在的物理意义是通过仅测试纯态的特点来刻画通道的性质.可以参看文献[3-7]了解更多与量子信息科学相关的保持问题.

该文刻画具有性质保持对称矩阵张量积幂等的线性映射φ:Sm⊗Sn→Smn，即

A⊗B∈Pmn⟹φ(A⊗B)∈Pm

该文的主要结果是：

定理1.2 设m,n≥2，则线性映射φ:Sm⊗Sn→Smn满足

A⊗B∈Pmn⟹φ(A⊗B)∈Pmn

(1)

当且仅当φ=0或存在正交矩阵T∈Mmn使得

φ(X)=TXT-1,∀X∈Sm⊗Sn.

1 预备结果

在该节给出几个预备引理：

引理1.1 设U,V∈Mn是可逆矩阵，如果对任意的X∈Sn有UX=XV则U=V=λIn，其中λ≠0.

证明分别取X=Eii,i=1,…,n，由UEii=EiiV可得U与V都是对角阵，再取X=Eij+Eji,1≤i

引理1.2[8]设t是一个正整数，P1,…,Pt∈Pmn满足Pi+Pj∈Pmn，1≤i

ri=rank(Pi)，i=1,…,t,则存在正交阵T∈Mmn使得

Pi=Tdiag(0r1,…,0ri-1Iri,0mn-r1-…-ri)T-1,

i=1,…,t.

为了方便定理1.2的证明，在该节最后再给出两个通过幂等条件刻画矩阵的引理：

引理1.3 设正整数r,s满足r+s≤mn，如果P∈Pr及X，0s⊕P⊕0mn-r-s-X∈Pmn，则存在Xr∈Pr使得

X=0s⊕Xr⊕0mn-r-s.

证明类似于文献[4]，直接验算即可.

引理1.4 设A=Pr⊕0s⊕0mn-r-s∈Pmn，B=0r⊕Ps⊕0mn-r-s∈Pmn，x∈Smn. 如果

(2)

及

(3)

则X2=A+B并且

其中X12∈Mr×s

证明显然有AB=BA=0，再由(2)可以直接算出

于是

X2=A+B

进而

类似的，由(3)得

这表明

X=AX+XA=BX+XB

由上式，并注意到A,B的形式，可得

其中X12∈Mr×s

2 保对称矩阵张量积幂等线性映射的刻画

该节给……