孙梅霞，王吉华，郭栋，曲金玉

(1. 山东理工大学 学报(自然科学版)编辑部, 山东 淄博 255049；2. 山东理工大学 交通与车辆工程学院, 山东 淄博 255049)

教师考核是学校一项重要工作，涉及因素较多，且评价指标和评价结果均具有模糊性，为使考核科学合理，近年来学者采用模糊综合评价方法，获得了很多应用成果。一级模糊综合评价是确定评价因素权重模糊子集和单因素模糊判断矩阵，并将两者合成，得到评价结果模糊集；而多级模糊综合评价分不同层次，从低层次到高层次按一级评价的方法依次进行综合评价[1-3]。为适应复杂多因素的考核，学者先利用层次分析法得到多因素权重模糊集,然后利用模糊综合评价方法进行评价[4-8]。另外，在多因素综合评价中，林伟[9]利用遗传算法得到多因素权重，尤游等[10]利用计算信息熵权重的熵权法计算多因素权重。综上所述，在各种综合评价中可使用多种方法得到相应层的因素权重模糊集，再进行专家或者评价者打分或评等级方法得到模糊判断矩阵，然后两者合成进行综合评价。但在计算因素权重模糊集和模糊判断矩阵时，若都利用专家组或评价组进行，特别是多级评价时各级均需重复同样步骤，将很大程度增加工作量和延长评价时间；并且文献评价的方法均是从综合评价过程和步骤进行阐述，并没有详细分析其原理。因此，本文首先从模糊关系及其合成角度分析模糊综合评价原理，然后基于模糊推理进行讨论，最后通过某高校年终考核实例，提出计算模糊判断矩阵的简便且实用的方法。

1 模糊关系及其合成

1.1 模糊关系定义

定义1 论域U和V的笛卡尔乘积U×V上的模糊子集R称为U到V的模糊关系，记为R(u,v)：

(1)

由模糊集合定义可知，模糊子集R表示了U×V的每个元素对(u,v)到区间[0,1]的一个确定数值的映射关系，这个数值就是u和v的关系程度。

若U和V均为有限集，则R可表示成矩阵形式。设U={u1,u2，…，un}和V={v1,v2，…，vm}，则R=(rij)n×m，rij∈[0,1]，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。为方便说明，将U和V的元素u和v分别标在矩阵旁边对应的行和列处，即为

(2)

从式(2)可以看出，R的每一行元素分别表示论域U中某个ui对论域V中各个vj的关系程度，为模糊向量，称为模糊关系R在ui处的截影，记为R|ui。根据模糊集合定义，每一行截影R|ui均为论域V上的一个模糊集合，则模糊关系R又可定义为论域U到V上模糊幂集F(V)的映射f的象集合，即

(3)

式中：u∈U；f(u)∈F((V)，则R=f(U)。

在模糊综合评价中，论域U为因素集，论域V为评价集，每一行截影R|ui为单因素ui在评价集V上的模糊集，通过求出各个因素对V中各评价等级的隶属度即可得到模糊判断矩阵。

1.2 模糊关系合成

定义2 设论域U、V和W上的模糊幂集分别为F(U)、F((V)和F((W)，模糊关系R∈F((U×V)、S∈F((V×W)、T∈F((U×W)，则称T为模糊关系R和S的合成，记为T=R°S，T仍为一模糊关系，根据模糊关系定义，T为模糊集合，则其隶属度函数μT(u,w)为

(4)

式中∨、∧分别表示取大和取小运算。

定义3对于论域U到V的模糊关系R(u,v)，U中的元素u称为关系R的主，U称为关系R的主集；V中的元素v称为关系R对应于u的从，V称为关系R的从集。u为关系R的发起者，v为关系R对应于u的接受者。

据定义3，关系R、S和T分别是其主ui∈U、vj∈V和ui∈U到其从vj∈V、wk∈W和wk∈W的模糊隶属度构成的集合，i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;k=1,2,…,l。

T=R°S=

(5)

在模糊关系合成过程中，关系合成路径如图1所示，由式(4)可知，主从对的隶属度μT(ui,wk)是通过关系R的主ui对R的所有各从v1～vm的关系隶属度与关系S的对应各主v1～vm对S从wk的关系隶属度一一作比较后分别取小，然后再在m个取小值中取最大值而得到。 图1中粗线是主从对(u1,w1)关系合成路径从而得到其隶属度μT(u1,w1)。

图1 模糊关系合成路径

V既是关系R的从集又是关系S的主集，是关系合成的中间通道和桥梁，对关系的合成起承接作用，模糊关系合成就是通过中间通道V在ui和wk之间先串联后并联的结果。串联通道ui→vj→wk的容量由ui→vj和vj→wk二者关系隶属度的最小值确定而取小。ui→wk的串联通道数由V决定，共有m个，m个ui→vj→wk(j=1,2,…,m)串联通道作并联，主从对(ui,wk)的关系隶属度μT(ui,wk)由m个关系隶属度最大值确定而取大。所以式(4)也可为

(6)

在模糊关系合成应用于模糊综合评价时，U为某评价，V为评价因素集，W为评价集；R∈F((U×V)为该评价到各因素权重模糊集，是模糊关系；S∈F((V×W)为因素集到评价集模糊关系，是模糊集；T=R°S∈F((U×W)，是该评价项目到评价集的模糊关系，得到评价等级结果，仍为模糊集。

2 模糊推理

数理逻辑用数学形式符号的方法研究推理前提和结论之间的关系。可判断真假的陈述句为命题，推理是由已知命题(前提)得到新命题(结论)的思维过程。在各种实际评价中，常使用的是肯定前提的假言推理规则，形式如下：

(7)

在二值逻辑中，式(7)中变量x和y的真域为普通集合，其取值A和B均为确定值。在自然语言中，语言变量x和y的真域均为模糊集合，而且前提1和结论中的A和B与前提2中的A和B是不同的模糊集合，分别记为A′和B′，则式(7)转换为：

(8)

在式(8)中的命题逻辑推理中，前提2为模糊蕴含，是模糊关系，记为R，则R=A→B。根据模糊关系、模糊向量和模糊截影的定义及其关系可知，模糊集合即为其代表的语言变量的取值到其论域上的模糊关系，则式(8)的A、B、A′和B′均可视为模糊关系，其推理过程为模糊关系合成，即

B′=A′○R=A′○(A→B)。

(9)

经过式(9)的合成，结论中关系B′的主和从分别是关系A′和模糊蕴含关系R的主和从，最后得到的结果B′仍为模糊集合。

在模糊综合评价中，前提1中A′表示某种评价到各评价因素的权重模糊集。前提2是模糊蕴含的模糊关系R=A→B，整体关系同于一般的模糊推理。结论是某评价的评价等级结果为B′。但与一般的模糊推理有两点区别：

1)模糊蕴含关系区别。一般模糊推理中，模糊蕴含关系是对整体而言的，在一个推理系统中是固定不变的；但模糊综合评价中整体关系传递是相同的，但在某一次评价中前半部A是已知固定的，而后半部分B是变化的，因此模糊蕴含关系退化为局部的B，即从A的主到B的从的关系退化为从B的主到B的从的关系。

2)推理的输入区别。一般模糊推理的输入是前提1的A′，是变化的；而模糊综合评价的前提1在某一次评价中是A，已知且固定，其输入是前提2的模糊蕴含关系后半部分B，且对于不同评价对象，例如不同教师，是变化的。

3 教师年终考核实例

本文将模糊关系、模糊合成和模糊推理应用于教师年终考核。某高校人事部门制定了教师年度考核指标，由各学院对本学院教师实施考核。各学院依据学校考核指标和办法制定具体得分标准和办法，作为年终等级考核依据。由于各项指标和得分标准人为制定，评价结果是模糊概念，各种指标标准也不一致，考核采用模糊集合评价方法比较合适。

以5位教师x1～x5考核为例，依次为教授、副教授、副教授、讲师和助教，评价指标确定为教学、科研、指导学生大赛和参与学科建设情况，其各项评价指标实际得分和年度应完成目标任务分值见表1。

表1 教师任务完成分值

由于职称不同，其目标任务分值不同，为了消除职称对考核等级的影响，取各项指标年度实际得分与目标任务分值的比值进行考察，同时规定比值大于1的按1计算，结果见表2。

表2 教师任务完成的相对比值

式(9)中A′是根据学院的人员组成和发展情况综合考虑而确定的各指标权重模糊集，即A′=[0.5，0.3 ，0.1， 0.1]。

评价等级分为优秀、良好、合格和不合格，5位教师的模糊蕴含关系A′由表2中的任务完成相对比值根据评价等级的隶属度函数确定，隶属度值称为相对隶属度，隶属度函数如图2所示。

图2 评价等级的隶属度函数

4 结束语

本文从模糊关系、模糊关系合成和模糊推理角度分析模糊综合评价原理和思路，定义模糊关系的主和从，有利于问题讨论；分析一般模糊推理和模糊综合评判推理关于模糊蕴含关系和输入的区别；最后对不同职称的教师进行实例评价。模糊综合评价情况复杂，从不同角度分析其原理，有利于考虑各种情况并灵活应用，这是本文今后的工作。