张磊 于飞 吕佳佳 王辉

摘要：辅助函数的构造是应用罗尔定理证明方程问题的关键。通过微分与积分的互逆关系，将积分思想用于构造辅助函数，探究含中值的等式证明问题，并通过例题介绍凑微分法、还原法和分组法的适用情况。

关键词：中值定理;辅助函数;等式证明

中图分类号：O172  文献标识码：A

一、绪论

微分中值定理建立了导数的局部性与函数整体性的联系，有着非常重要的应用价值。罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用最为广泛，是处理微分中值定理的证明问题时最常见的方法。该类证明题的普遍难点在于辅助函数的构造，一旦确定了辅助函数，那么后续的证明步骤也就水到渠成了。可见，辅助函数的构造是求证微分中值问题的关键，也是方程问题考查的重难点。近日，石丽娜等引入了待定系数法[1]，张军等[2]利用微分方程求通解的方法用于构造辅助函数。辅助函数的构造虽然千变万化，但并非毫无规律可循。“特征结论变形”和“还原”是罗尔定理证明题涉及的两种构造辅助函数的常用技巧，本文在常见辅助函数构造法的基础上，借助逆向思维法，结合经典例题分类梳理辅助函数的构造方法。

罗尔定理[3]若函数f（x）满足：①f（x）在闭区间a，b上连续;②f（x）在开区间a，b上可导;③f（a）=f（b）成立;则在开区间a，b内至少存在一点ξ，满足f′（ξ）=0。

这里，我们称ξ为中值，称微分方程f′（ξ）=0为特征结论。此类证明通常以“至少存在一点ξ∈a，b，使h（ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ））=0成立”的形式出现。中值定理证明题的特征结论多种多样，但都可以通过等价变换改写成“h（ξ）=0”的形式，其中h（x）通常由x，f（x），f′（x）等经过四则运算构成。……