张磊 于飞 吕佳佳 王辉

摘要：辅助函数的构造是应用罗尔定理证明方程问题的关键。通过微分与积分的互逆关系，将积分思想用于构造辅助函数，探究含中值的等式证明问题，并通过例题介绍凑微分法、还原法和分组法的适用情况。

关键词：中值定理;辅助函数;等式证明

中图分类号：O172  文献标识码：A

一、绪论

微分中值定理建立了导数的局部性与函数整体性的联系，有着非常重要的应用价值。罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个，但其应用最为广泛，是处理微分中值定理的证明问题时最常见的方法。该类证明题的普遍难点在于辅助函数的构造，一旦确定了辅助函数，那么后续的证明步骤也就水到渠成了。可见，辅助函数的构造是求证微分中值问题的关键，也是方程问题考查的重难点。近日，石丽娜等引入了待定系数法[1]，张军等[2]利用微分方程求通解的方法用于构造辅助函数。辅助函数的构造虽然千变万化，但并非毫无规律可循。“特征结论变形”和“还原”是罗尔定理证明题涉及的两种构造辅助函数的常用技巧，本文在常见辅助函数构造法的基础上，借助逆向思维法，结合经典例题分类梳理辅助函数的构造方法。

罗尔定理[3]若函数f（x）满足：①f（x）在闭区间a，b上连续;②f（x）在开区间a，b上可导;③f（a）=f（b）成立;则在开区间a，b内至少存在一点ξ，满足f′（ξ）=0。

这里，我们称ξ为中值，称微分方程f′（ξ）=0为特征结论。此类证明通常以“至少存在一点ξ∈a，b，使h（ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ））=0成立”的形式出现。中值定理证明题的特征结论多种多样，但都可以通过等价变换改写成“h（ξ）=0”的形式，其中h（x）通常由x，f（x），f′（x）等经过四则运算构成。证明方法是，从结论中的等式出发，通过等价变换将其化简，构造满定理条件的函数φ（x），其中φ′（x）=h（x，f（x），f′（x），…，f（n）（x））。接下来我们探讨常见辅助函数的构造方法。

二、凑微分法

观察罗尔定理的条件③，如果能构造一个函数φ（x），使得φ′（x）=h（x），且φ（a）=φ（b），就可以由羅尔定理得出h（x）在开区间（a，b）内存在零点。由等式φ′（x）=h（x）解出φ（x），这是一个求原函数的过程，因此求不定积分可以作为构造辅助函数的一种方法。为了突出构造法的中“凑”巧妙，习惯上我们将这种方法称为凑微分法。凑微分法构造辅助函数的要点在于“凑”，具体步骤如下：①将特征结论中的中值ξ改写成x;②经移项、去分母等恒等变换，将特征结论整理为h（x）=0;③令φ′（x）=h（x），解微分方程得出函数φ（x）;④验证φ（x）是否满足罗尔定理条件，完成证明。

例2.1 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，g（x）≠0，g″（x）≠0，且f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0。证明存在ξ∈（a，b），满足f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）。

分析：由凑微分法，将特征结论f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）改写为f（x）g（x）=f″（x）g″（x）;移项去分母整理得f（x）g″（x）-g（x）f″（x）=0;令φ′（x）=f（x）g″（x）-g（x）f″（x），等式右端积分得φ（x）=∫f（x）g″（x）-g（x）f″（x）dx，再由分部积分可得φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）+C，从而构造辅助函数φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。

解：令φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。显然φ（x）在闭区间a，b上连续，开区间a，b上可导，且φ（a）=φ（b）。由罗尔定理，在a，b内至少存在一点ξ，满足φ′（ξ）=0。又由于g（x）≠0，g″（x）≠0（a

例2.2 用凑微分法构造辅助函数，证明拉格朗日（Lagrange）中值定理[3]：

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

分析：将特征结论f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a改写为f′（x）-f（b）-f（a）b-a=0;去分母整理得f′（x）（b-a）-f（b）-f（a）=0;令φ′（x）=f′（x）（b-a）-f（b）-f（a），从而构造辅助函数φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x。

解：令φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x，显然φ（x）在闭区间a，b上连续，开区间a，b上可导，且φ（a）=bf（a）-af（b）=φ（b）。

由罗尔定理，在a，b内至少存在一点ξ，满足φ′（ξ）=0，即f′（ξ）（b-a）-f（b）-f（a）=0，亦即f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

值得注意的是，拉格朗日中值定理作为微积分的经典定理，它的证明方法有很多。定理的几何意义：设连续的曲线弧y=f（x）上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么这条曲线弧上至少有一点（ξ，f（ξ）），曲线在点（ξ，f（ξ））的切线平行于端点AB连线，其中AB为曲线弧端点。同济大学版《高等数学》从定理的几何意义出发，通过切线与曲线距离在端点处相等这一思想，利用做差法构造出辅助函数F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）。另外，2009年研究生入学考试数学卷中，解答题18题第1问也考查了拉格朗日中值定理的证明。证明方法主要有三种：做差法、凑微分法、行列式法。对比这些方法看出，凑微分法仅仅通过观察特征结论就能得到辅助函数，使考试较大程度地提高答题效率和准确率，为后续题目争取更多时间。凑微分法是构造辅助函数最基本的方法，需要学生熟练掌握。

三、还原法

由原函数存在性可知，初等函数未必存在原函数。因此凑微分法构造辅助函数存在一定的局限性。这里我们探究辅助函数的第二种构造法——还原法。

若特征结论为f′（ξ）+g（ξ）f（ξ）=0，用凑微分法构造辅助函数，步骤如下：①将结论中的ξ改写成x，写成f′（x）+g（x）f（x）=0;②将f′（x）+g（x）f（x）=0变换为f′（x）f（x）+g（x）=0;③还原为lnf（x）′+lne∫xag（t）dt′=0，即ln（f（x）e∫xag（t）dt）′=0;④由函数y=u（x）与z=lnu（x）同驻点，因此定义辅助函数φ（x）=f（x）e∫xag（t）dt;⑤验证φ（x）是否满足罗尔定理条件，完成证明。

例3.1 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0。证明存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0。

分析：变换得f′（x）f（x）-2=0，还原得lnf（x）′+lne-2x′=0，即ln（f（x）e-2x）′=0;取φ（x）=e-2xf（x）。

解：令φ（x）=e-2xf（x）显然φ（x）在闭区间a，b上连续，开区间a，b上可导，且φ（a）=φ（b）。由罗尔定理，在a，b内至少存在一点ξ，满足φ′（ξ）=0，φ′（ξ）=e-2ξf′（ξ）-2f（ξ），因e-2ξ≠0，有f′（ξ）-2f（ξ）=0。

例3.2设f（x）在区间0，1上连续，在0，1内可导，且f（0）=f（1）=0，证明：存在ξ∈0，1，使得1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

分析：变换得f′（x）f（x）-11-x2=0，还原得lnf（x）′+lne-arcsinx′=0，即ln（f（x）e-arcsinx）′=0;取φ（x）=e-arcsinxf（x）。

解：令φ（x）=e-arcsinxf（x），显然φ（x）在闭区间0，1上連续，开区间0，1上可导，且φ（0）=φ（1）。由罗尔定理，在0，1内至少存在一点ξ，满足φ′（ξ）=0，因φ′（ξ）=e-arcsinξf′（ξ）-11-ξ2，由e-arcsinξ≠0，必有f′（ξ）-11-ξ2=0，即1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

四、分组法

当凑微分法和还原法无法构造辅助函数是，还可尝试先将特征结论分组，再结合还原法构造辅助函数。

例4.1[4]观察以下特征结论，结合还原法和分组法，构造辅助函数：

（1）f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2;

（2）f″（ξ）-f（ξ）=0;

（3）f″（ξ）+f′（ξ）=2。

解：（1）将特征结论f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2改写为f′（x）-f（x）+2x=2;分组有f（x）-2x′-f（x）-2x=0，整理可得f（x）-2x′f（x）-2x-1=0;由还原法得ln（f（x）-2x）′+lne-x′=0。综上，辅助函数φ（x）=e-x（f（x）-2x）。

（2）将特征结论f″（ξ）-f（ξ）=0改写为f″（x）-f（x）=0;恒等变形得f″（x）-f′（x）+f′（x）-f（x）=0，分组为f′（x）-f（x）′+f′（x）-f（x）=0;由上文的还原法得ln（f′（x）-f（x）′+lnex′=0。综上，辅助函数φ（x）=ex（f′（x）-f（x））。

（3）将f″（ξ）+f′（ξ）=2。改写为f″（x）+f′（x）-2=0。;对f″（x）+f′（x）-2=0。分组为f′（x）-2′+f′（x）-2=0;用还原法得ln（f′（x）-2）′+lnex′=0，辅助函数φ（x）=ex（f（x）-2）。

五、小结

罗尔定理是微分中值定理中的基本定理，辅助函数的构造是微分中值问题的关键和难点。本文采用逆向思维法探究了罗尔定理辅助函数构造的三种常用方法，详细介绍了辅助函数构造法中“特征结论变形”和“还原”的应用技巧，给出构造辅助函数的具体步骤，并通过算例的分析和证明呈现出逆向思维法构造辅助函数在求证微分中值问题的有效性和实用性。实际上，辅助函数法还可以用于后续课程中的微分方程求通解，教师在授课过程中应引导学生多观察，勤思考，找准异同点，排除干扰，注重各类构造法的归纳整理，积极创造条件让学生综合运用基础知识和基本技能有效解决做题中遇到的困难，提高学生的学生微积分的积极性和学习效率。本文适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。

参考文献：

[1]石丽娜，邢丽丽.罗尔定理应用中辅助函数的两种构造方法[J].高等数学研究，2019，22（3）：13-14

[2]张军，倪鑫，闫丝雨，等.利用微分方程求解微分中值问题的逆向思维方法[J].高等数学研究，2019，99（3）：15-16

[3]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2015

[4]武忠祥.数学考研历年真题分类解析[M].西安：西安交通大学出版社，2005

基金项目：辽宁省教育厅青年项目（L201730）;辽宁省科技厅博士启动项目（201601173）

作者简介：张磊（1986— ），女，博士研究生，讲师，硕士生导师，研究方向：控制论、微积分。