张 刚， 徐 浩， 张天骐

(重庆邮电大学 通信与信息工程学院，重庆 400065)

随机共振(stochastic resonance, SR)首次由Benzi等[1-3]提出，用于解释地球离心率对冰川期和暖气候期交替出现的气象现象的影响。之后，SR被拓展到广义的涨落力非线性作用于系统有序性响应的现象，并被应用在多种学科和研究领域中，诸如生物细胞学[4-6]、物理[7-9]、化学[10-11]和微弱信号检测领域[12-14]。随着SR的理论体系的建立，SR的研究由双稳态系统[15-17]被拓展到了单稳态系统[18-19]和三稳态系统[20-21]以及以周期势系统[22-23]为代表的多稳态系统。Zhang等[24-26]研究了不同噪声下的逻辑SR现象，并成功地利用逻辑SR实现了基于噬菌体的延时合成遗传网络的逻辑操作和锁存操作。贺利芳等[27]研究了在高斯白噪声下受周期驱动的时延反馈生态植被生长系统的SR现象并将其运用于轴承故障诊断实验中，结果表明该系统可以有效地从背景噪声中识别出轴承故障信号。然而，目前大部分的研究成果都是基于一维势系统，二维势系统由于系统变量的耦合性和阱间跃迁的复杂性而缺乏足够的研究。在二维势阱中，阱间跃迁由平面拓展到空间中，更繁杂的跃迁轨迹导致更丰富的演化结果，因此二维势系统的SR机理及应用值得关注。本文提出一种二维双阱势系统(two-dimensional bistable potential system, TDBPS)，分析TDBPS在高斯白噪声和外部微弱周期驱动力的共同激励下的SR现象和机理，而后用TDBPS检测微弱周期信号，与经典一维双稳态系统 (one-dimensional bistable system, ODBS)和新型一维非饱和双稳态系统(one-dimensional unsaturated bistable system, ODUBS)作对比。最后将TDBPS应用于工业轴承故障诊断中，以检验该系统的实际应用价值和先进性。

1 TDBPS理论分析

1.1 势函数

在过阻尼条件TDBPS在二维势场势阱中的动力学方程可由Langevin方程描述

(1)

(2)

式中：γ、kB和T分别为阻尼系数， Boltzmann常数和温度。δ为Dirac函数，本节变量均为无量纲形式。

当b=0.1，a=1，c=1，r=0.2时，未受激励的等效势函数V0(x,y)如图1所示，可见V0(x,y)势场空间中分布着两个势阱，势阱之间被势垒所阻隔。

图2为图1的俯视图，可见每个势阱中对应一个稳态点S1(x1,y1)和S2(x2,y2)，将对应的势阱简记为i1和i2，势阱之间的概率量通过势垒上的鞍点U12(x12,y12)交换，图2中黑色箭头线段表示势场力的约束方向，其中双向箭头表示概率量的最短交换路径，亦为最短能量路径。

图1 等效势函数V0(x,y)

图2 稳态点及鞍点分布

如图3所示为ODBS和ODUBS的势函数，可见ODBS和ODUBS只为一维势场平面所约束。

图3 ODBS和ODUBS的势函数

1.2 SR机理分析

对应于式(1)的FPE为

(3)

式中： 右边前两项描述了阱内围绕稳态点S1和S2的小尺度扩散的统计性质，右边第三项描述了阱间通过鞍点U12在势阱i1和i2之间的大尺度跃迁的统计性质。其中，ρ(t)为粒子运动轨迹的概率密度函数，D=γkBT为噪声强度。据此假设在时刻t处于i1和i2的概率分别为p1(t)和p2(t)，满足p1(t)+p2(t)=1，则阱间跃迁的概率流方程为

(4)

式中：k12(t)和k21(t)分别为从势阱i1跃迁到i2的跃迁率和从i2跃迁到i1的跃迁率，符合

(5)

式中：λi1和λi2为V0(x,y)的Hessian矩阵在S1和S2处的特征值；λij1和λij2为V0(x,y)的Hessian矩阵在鞍点U12处的特征值[28-30]。势垒ΔVij定义为V(x,y,t)在稳态点和鞍点处的差值，即

ΔVij=ΔV0ij-Δgij(x,y)A1cos(ω0t+φ)

(6)

将式(6)代入式(5)进行幂级数展开

(7)

忽略n≥2的项，可得

(8)

(9)

式中：p1(t0)为t0时刻i1的初始概率量。将式(8)代入式(9)可得

(10)

(11)

系统响应的均值为

〈Q(t)|t0〉=∬xyp(t|t0)dxdy

(12)

当t0→-∞时，有

(13)

进一步可得当t0→-∞时的自相关函数为

(14)

对式(14)进行时域平均可得

(15)

将式(15)进行傅里叶变换可得系统输出功率谱H(ω)为

(16)

式中：Hξ(ω)和HF(ω)分别为功率谱中所对应的噪声项和周期驱动项。由此可得系统输出SNR为

(17)

如图4～图7所示为SNR随D变化的函数曲线，各图中不同的曲线分别代表不同的关联系数α、驱动频率ω0、耦合系数r和幅值强度A1。

图4 不同α下SNR随D变化的演化曲线

图5 不同ω0下SNR随D变化的演化曲线

图6 不同r下SNR随D变化的演化曲线

图7 不同A1下SNR随D变化的演化曲线

综合图4～图7可见，以SNR作为衡量指标时，系统发生了显著的SR现象，在峰值前，噪声强度D的增加反常地提高了SNR。通过调节α、ω0、r和A1能够进一步地提高SNR，为了获得更显著的SR效果，应当合理增大α、A1和r的值，或适当减小ω0的值。每条曲线SNR的峰值对应这一个最优的D值，该最优的D值受到r和ω0取值大小的影响，而几乎与α和A1无关。

2 数值模拟与轴承故障诊断

使用四阶龙格库塔法进行数值模拟。设置输入的含噪信号为X(t)in=0.01sin(0.02πt)+ξ(t)，噪声强度D=2.5，相较于D=2.5的噪声强度，幅值为0.01的输入信号X(t)in为微弱信号，数据长度为10 000点，数据取样间隔为0.2。为了使系统能够发生显著的SR现象，使用遗传算法(genetic algorithm, GA)[31-32]寻得的参数：b=0.696 2，a=1.201 8，c=1.058 1，r=0.722 3(精度保留至小数点后4位)。

将含噪信号X(t)in输入TDBPS。如图8(a)和图8(b)所示分别为X(t)in的时域波形和功率谱。图8(c)和图8(d)是经过TDBPS处理后的输出信号的时域波形和频谱图。对比可见，图8(a)和图8(b)中充斥大量高强度的噪声分量，0.01 Hz待测分量被噪声完全掩盖，难以识别。而图8(c)和图8(d)中，原本干扰识别的噪声分量向0.01 Hz所在低频区转移，待测频率0.01 Hz得到了显著的提高，时域波形的周期性特征得到加强，0.01 Hz待测频率分量能够轻易识别。

图8 低频微弱信号检测

同样设置X(t)in=0.01sin(0.02πt)+ξ(t)，以SNR为衡量指标，使用GA寻获的参数。如图9所示为TDBPS的理论值与模拟值的比较以及不同系统的SNR对比曲线。可见TDBPS理论值曲线与数值模拟值曲线基本吻合，但模拟值整体上略大于理论值，这种误差主要来源于计算跃迁率时对式(7)幂级数的截取，忽略高次幂的项越多，计算复杂度越低，而误差也越大。当比较TDBPS与ODBS以及ODUBS时，可见TDBPS的峰值最大，ODBS的峰值最小，且ODBS以及ODUBS的SNR峰值所对应的D也较小，在峰值过后，ODBS以及ODUBS的SNR曲线衰减较快，说明ODBS以及ODUBS不适用于更高强度的噪声环境中。对比可见TDBPS不仅性能更优，且更适用于高强度的噪声环境。

图9 不同系统的SNR对比

为了检验TDBPS在实际应用中的价值，将TDBPS应用于两种型号的工业轴承故障诊断中。第一种轴承故障数据来自于Case Western Reserve University电气工程实验室的实验平台[33]，轴承型号为JEM SKF 6205-2RS，轴承内径为25 mm，外径为52 mm，宽度为16 mm，转速为1 800 r/min。轴承内圈故障特征频率为fBPFI=162.2 Hz，外圈故障特征频率为fBPFO=107.3 Hz。如图10所示为SKF 6205-2RS轴承内外圈故障信号的时域波形和功率谱，可见时域波形中故障特征频率fBPFI和fBPFO的周期性特征完全被环境中的高强度噪声所掩盖；从功率谱来看，存在许多大功率的噪声干扰分量，fBPFI和fBPFO难以识别。

图10 SKF 6205-2RS轴承故障信号

对于不满足绝热近似理论的高频信号，进行二次采样处理，设置二次采样比例系数为rB=10 000。对应轴承内外圈故障诊断实验，使用GA分别寻得的两组参数为：b=0.715 3，a=1.034 0，c=1.168 1，r=0.757 7；b=0.725 8，a=1.344 7，c=1.203 9，r=0.708 7。将内外圈故障信号输入到已调节参数的TDBPS中。如图11(a)、图11(b)所示为使用TDBPS诊断内圈故障的效果，图11(c)、图11(d)所示为使用TDBPS诊断外圈故障的效果。对比图10和图11可见大部分高强度的噪声分量向fBPFI和fBPFO处转移，fBPFI和fBPFO处的功率谱幅值得到了显著的提高，从时域波形来看，时域的周期性特征也到了明显的增强，107.3 Hz和162.2 Hz的故障特征频率已经被有效地检测识别出来。

图11 TDBPS诊断SKF 6205-2RS轴承故障效果

在证明TDBPS应用于轴承故障诊断方面的有效性后，为了验证TDBPS的先进性，根据图9，ODUBS优于ODBS，因此将TDBPS在相同条件下与ODUBS进行SKF 6205-2RS轴承故障诊断的实验对比，同样使用GA来寻得ODUBS的参数为：a1=1.003 0，b1=1.014 9。如图12(a)、12(c)所示为分别使用ODUBS诊断轴承内外圈故障后输出信号的功率谱，而12(b)和12(d)分别为图11(b)、11(d)在0～1 500 Hz频段的局部放大图，图12各子图标明了故障特征频率fBPFI和fBPFO所在分量以及次峰值所在分量。

图12 TDBPS与ODUBS诊断SKF 6205-2RS轴承故障的功率谱

对比TDBPS和ODUBS各自的输出功率谱，可见TDBPS和ODUBS均能有效地检测故障特征频率fBPFI和fBPFO，噪声分量均向fBPFI和fBPFO所在频段转移，然而在TDBPS的对应功率谱中，fBPFI和fBPFO处的功率谱幅值比ODUBS的更高，且TDBPS中fBPFI和fBPFO处的峰值与次峰值的功率差值分别为247.40和214.17，而ODUBS中fBPFI和fBPFO处的峰值与次峰值的功率差值分别为23.90和9.50，说明fBPFI和fBPFO在TDBPS的对应功率谱中的可识别度更高，不会被其它频率分量所干扰，TDBPS的噪声利用率更强。

将TDBPS与ODUBS应用于第二种轴承故障诊断中，轴承故障数据来自于ID-25/30型轴承全寿命试验台，利用振动传感器和NI PXle-1082数据采集系统采集轴承故障时的振动信号，采样频率10 kHz，轴承型号为SKF 6206-2Z，内径为30 mm，外径为60 mm，宽度为16 mm，转速为1 300 r/min。内圈故障频率为117.30 Hz，外圈故障频率为78.33 Hz，轴承故障信号，如图13所示。

如图13(a)和图13(b)所示为SKF 6206-2Z轴承内圈故障信号的时域波形和功率谱，图13(c)和图13(d)所示为外圈故障信号的时域波形和功率谱，可见外圈故障信号被背景噪声干扰的程度更为严重。同样，使用GA寻获的参数，如图14所示分别为TDBPS和ODUBS诊断SKF 6206-2Z轴承内外圈故障的输出功率谱。

图13 SKF 6206-2Z轴承故障信号

图14 TDBPS与ODUBS诊断SKF 6206-2Z轴承故障的功率谱

如图14与图12的诊断效果类似，可见无论是117.30 Hz和78.33 Hz处的峰值大小，还是117.30 Hz和78.33 Hz处峰值与其它频率分量次峰值的差值，均是TDBPS占优。如图15所示为将SKF 6206-2Z轴承拆卸下来的实物图，可见轴承内外圈确实出现故障。综合微弱信号检测实验和两种轴承故障诊断实验，可见TDBPS在微弱信号检测方面具备有效性和先进性。

图15 SKF 6206-2Z轴承内外圈故障实物图

3 结 论

本文研究了在高斯白噪声和外部微弱驱动力共同作用下TDBPS的SR现象与机理，并将TDBPS应用于微弱周期信号检测和轴承故障诊断中。首先，基于绝热近似理论推导了系统的输出SNR的表达式，发现以SNR为衡量指标，TDBPS发生了显著的SR现象，一定强度的噪声能够增强TDBPS对外部微弱驱动力的响应，且通过提高驱动力幅值A1、耦合系数r和关联系数α或降低驱动频率ω0能够进一步地提高SNR。而后，使用四阶龙格库塔法和GA进行数值模拟实验，验证了理论分析的正确性，发现在相同条件下，TDBPS的输出SNR高于ODUBS，微弱信号检测结果说明TDBPS在检测微弱周期信号时具备显著的检测效果。最后，将TDBPS应用于两种型号的工业轴承故障诊断中，实验结果表明TDBPS可以有效地诊断轴承内外圈故障，特征故障频率的功率谱幅值得到了明显提高，在TDBPS的输出功率谱中可以轻易识别，且TDBPS的诊断效果优于ODUBS，说明二维势系统值得进一步的研究。