胡学平，王静雅

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆 246133）

Joag-Dev和Proschan[1]于1983年引入了NA列，定义如下。

定义[1]称随机变量X1,X2,X3,…,Xn(n≥2)是负相关（Negatively Associated，简记为NA）的，若对{1,2,3,…,n}的任意两个不交的子集A1，A2均有Cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2))≤0，其中fi(i=1,2)是使上式有意义且对每个变元非降（或对每个变元非升）的函数。如果对任意n≥2，X1,X2,X3,…,Xn是NA的，称随机序列{Xn,n≥1}是NA列。

Gut[2]证明了，对0 ＜p＜2，当时，有

其中，{an,n≥1}为常数列，这个结果已被推广到许多不同情形，如文献[3-6]。文献[7]研究了行m-NA随机阵列的完全收敛性，文献[8-9]分别研究了行为NA列的矩完全收敛和矩完全收敛的等价条件。本文研究行NA阵列随机指标部分和的弱大数定律，并推广和改进文献[2，4，5]中的结论。文中{Xnk,n≥1,k≥1}表示定义在同一概率空间的随机变量阵列。I(A)为A的示性函数。约定c表示正常数，且在不同地方可以表示不同的值，即使在同一个式子中也如此。下面先给出相关引理。

引理1[1]设X1,X2,X3,…,Xn,n≥2为NA变量，A1,A2,A3,…,An是集合{1,2,3,…,n}的两两不交的非空子集，记αi=#(Ai)，表示集合A中的元素个数。如果fi:ℝαi→ℝ(i=1,2,3,…,m)是m个对每个变元均非降（或对每个变元非升）的函数，则f1(Xj,j∈A1),f2(Xj,j∈A2),f3(Xj,j∈A3),…,fm(Xj,j∈Am)仍为NA变量。此外，如果fi≥0，i=1,2,3,…,m，则还有

引理2[10]设随机序列{Xn,n≥1}的p阶矩存在，且当0 ＜p≤1时，它是任意随机变量序列；当p＞1时，它是NA零均值序列，则对0 ＜p≤2，存在正常数c（只与p有关），使得

引理3[10]设X1,X2,X3,…,Xn为随机变量，则

引理4设{an,n≥1}为一正的常数列，则对任意实数p，有

证明先证明式（1），有

根据式（1）及an/nδ，单增，当p=2时，有

从而式（2）得证。

下面给出本文的主要结论与证明。

定理1设{Xnk,n≥1,k≥1}是行NA阵列，{an,n≥1}为一正的常数列，且当时，满足an/nδ单增，若

{Nn,n≥1}为一取正整数值的随机变量列，且存在某个单增趋于无穷的正整数列{kn,n≥1}，满足

因此只需证明Ii→0(i=1,2)，n→∞。对于I2，根据式（3）（4）有

下面证明I1→0，n→∞。令，根据式（4）可得

因此只需证明P(Bn)=o（1），根据Markov不等式、引理2和引理3，可得

根据引理4，{Tnj,n≥1,j≥1}是Toeplitz阵列，又根据式（3）和Toeplitz引理知式（7）的最后一项也趋向于0，从而定理1得证。

推论1在定理1中取，0 ＜p＜2，若，则有

注特别当Nn=kn，m=kn时，NA列为鞅差序列[5]。

推论2设{Xnk,n≥1,k≥1}是一随机变量阵列，{an,n≥1}为一单增正的常数列，且an=O(n)，若

{Nn,n≥1}为一取正整数值的随机变量列，且对某个正整数l满足P(Nn＞lan)=o(1)，则有

其中ℱn,j=σ{Xnk,1≤k≤j,j≥1,n≥1}。

注推论2为文献[4]中的定理2，它是由鞅差序列得出的。本文定理对鞅差序列也成立，其证明的关键是引理2中的不等式对鞅差序列也成立，从而推广了文献[4]中的结论。

推论3设{Xnk,n≥1,k≥1}是行NA阵列，{an,n≥1}为单增正的常数列，且an=O(n)，若

{Nn,n≥1}为正整数值的随机变量列，且满足

证明由式（8），对充分大的n及∀ε＞0，存在正常数l＞c+ε，使得