李 伟

(集美大学理学院, 福建 厦门 361021)

继Riemann积分[1]后，1957～1958年，J．kurzweil和R．Henstock分别独立地建立了一种新的完全Riemann型的积分，人们称之为kurzweil-Henstock积分[2-3](简记为KH-积分)．1982年被证明了该积分等价于在1912年建立的特殊的Denjoy积分和1914年建立的Perron积分，且它们都包容了Lebesgue积分[4](简记为L-积分)．1973年，美国学者E．J ．Mcshane研究了kurzweil-Henstock积分定义后，把kurzweil-Henstock积分定义中的条件作了若干限制，于1983年在纽约发表了题为《统一积分》的论文，定义了一种新的Riemann型积分，后来人们称之为Mcshane积分[5](简记为M-积分)．在此定义中无需用到复杂的测度理论[6]，并且证明了Mcshane积分等价于Lebesgue积分．为了寻找M-可积的等价条件，以及KH-可积的等价条件，A．W．Schurle于1984年在美国数学会会刊上发表的论文中提出了“Locally Small Riemann Sums”(局部小黎曼和)性质(简记为LSRS)[7]，间接地证明了函数可积性的等价条件，但证明过程十分繁杂．为了简化证明，人们一直在不断探索着．本文在M-积分、KH-积分及实函数的LSRS性质等理论[7-10]的基础上，证明了M-可积的等价条件；应用Harnack扩张定理，将其进一步拓展到KH-积分，并对其可积性进行了探讨．简化了文献[7]的证明．

1 预备知识

定义1[3]设δ(x)为区间[a,b]上的正值函数，对区间[a,b]任作分划：

a=x0

满足：

ξi-δ(ξi)

即

ξi∈[xi-1,xi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),i=1,2,...,n

该分划称之为δ-精细分法．

实函数f(x)在[a,b]上的δ-精细M分法及Mcshane积分定义见文献 [11] ．

如果f(x)在[a,b]上每点都具有LSRS性质，则称f(x)在[a,b]上具有LSRS性质．

定义3[7]设x∈[a,b]，称x为f(x)的奇异点，若对于任意闭区间[r,s]，满足x∈[r,s]⊂[a,b]，而f(x)在[r,s]上不可积．当x=a时，指x∈[a,s)⊂[a,b]；当x=b时，指x∈(r,b]⊂[a,b]．

定义4[3]设f(x)是定义于[a,b]上的实函数，如果存在常数A，∀ε>0，∃δ(x)>0，x∈[a,b]，对[a,b]上的任何δ-精细分法D={([u,v],ξ)}有:

|∑f(ξ)(v-u)-A|<ε

则称f(x)在[a,b]上为kurzweil-Henstock可积，简称KH-可积，A称为f(x)在[a,b]上的积分，记为

定义5[7]设f(x)是定义于[a,b]上的实函数，若∀x∈[a,b]，∀ε>0，∃δ(x)>0，对[a,b]上的任何闭区间[r,s]⊂(x-δ(x),x+δ(x))，在[r,s]上的任何δ-精细分法D，都有

|∑f(ξ)(v-u)|<ε，

则称f(x)在[a,b]上具有局部小黎曼和性质，简记为LSRS*．

2 定理及其证明

定理1设f(x)在[a,b]上M-可积，则f(x)在[a,b]上具有LSRS性质．

证明因f(x)∈M[a,b]，故存在连续的原函数F(x)，∀ε>0，∃δ(x)>0，对[a,b]上所有δ-精细M和式，有

这里F(u,v)=F(v)-F(u)，下同．

从而

证毕.

引理 设f(x)是[r,s]上的可测函数，若f(x)的正部f+(x)在[r,s]上不为M-可积，则对

∀δ(x)>0，∀k>0，∃[r,s]上δ-精细M和式，有∑f+(ξ)(v-u)>k．

由L-积分定义，可得其证明，这里从略．

定理2设f(x)在[a,b]上可测且具有LSRS性质，则f(x)∈M[a,b]．

证明令C={x|x为f(x)的奇异点}．显然，只要证明C=Φ．

假设C≠Φ，取c∈C，由引理，不妨设f(c)=0．

证明c也是f-(x)和f+(x)的奇异点．

假设c不是f-(x)的奇异点，则存在闭区间[r,s]，使得

c∈(r,s)⊂[r,s]⊂(c-δ(c),c+δ(c))，

而f-(x)在[r,s]上可积(注，这里的δ(x)是指LSRS中的δ(x))．此时，f+(x)在[r,s]上必不可积．故由引理，在[r,s]上存在一δ-精细M分法D*，其和式满足

∑*f+(ξ)(v-u) > 1，

由M-积分定义的偶对([u,v],ξ)中对ξ的要求，可适当修正D*，使得

∑f(ξ)(v-u) = ∑*f+(ξ)(v-u) > 1．

由此得知此与条件LSRS相悖，于是c必是f-(x)的奇异点．同样可证c是f+(x)的奇异点．因而可按照上述类似的演绎方法推得f(x)在点c不具有LSRS性质．此与条件矛盾．

证毕．

下面在可测函数类中将f(x)的M-可积性拓展到一般的KH-积分上．

定理3若f(x)在[a,b]上可测且具LSRS*性质，则f(x)在[a,b]上KH-可积．

证明令S={x|x是f(x)的奇异点}， 显然S闭，且有开集

其中(ai,bi)为G的构成区间．

只需证明S=Φ．用反证法．

首先证明f(x)∈KH[ai,bi](即在[ai,bi]上KH-可积)．显然，由于f(x)具LSRS*性质，由其定义，只要取[s,t]⊂(bi-δ(bi),bi)，可得

存在．

因f(x)具LSRS*，故取ε=1，∃δ1(x)>0，∀c∈[a,b]，任意闭区间[s,t]⊂(c-δ1(c),c+δ1(c))，[s,t]上的任何δ1-精细分法D1，有

U(a,x)=U(x)，V(a,x)=V(x)，

从而U(x,y)，V(x,y)有界．

另外，对所有x∈[u,v]⊂(x-δ1(x),x+δ1(x)),有

U(v)-U(u)≥U(u,v)≥f(x)(v-u)，

事实上，在[ai,bi]上，由f(x)的可积性及其原函数F(x)的连续性知，∃x0，y0∈[ai,bi]，使得

但

V(u,v)≤f(ξ)(v-u)≤U(u,v)，

故

于是

于是由KH-积分的Harnack扩张定理，f(x)在J上KH-可积．但因S无孤立点，而Q是S的部分且