郭雪娟， 吉雁斐

(中北大学 理学院， 山西 太原 030051)

0 引 言

周期Jacobi矩阵形式如下

其中，αi∈R，βi>0,](i=1,2,…,n).周期Jacobi矩阵来源于周期Toda lattices和连分数的应用[1-2]， 它的逆特征值问题主要出现在逆散射问题中， 具有十分重要的实际意义， Boley 和Golub在文献[3-4]和Ferguson在文献[5]中分别对此问题进行了相关研究.

本文对此类矩阵进行推广， 研究以下形式的子周期Jacobi矩阵逆特征值问题[6-7]

(1)

记矩阵X的谱为σ(X)， 对于式(1)中的矩阵Sn， 规定

(2)

问题：给定一个正数β以及三个集合λ={λ1,λ2,…,λn}⊂C，μ(1)={μ1,μ2,…,μr}⊂R，μ(2)={μr+1,μr+2,…,μn-1}⊂R， 3≤r≤n， 其中λ在复共轭下是封闭的， 且满足

λ1<μ1<λ2<…<λn-1<μn-1<λn.

(3)

求一个子周期Jacobi矩阵Sn使得

(4)

上述问题简称SPJIEP.

引理1[8]已知Jm是一个m阶Jacobi矩阵且其次对角元为γ1,γ2,…,γm-1， 令si是特征值ξi对应的单位特征向量，i=1,2,…,m， 则

χ′(ξi)s1ism,i=γ1γ2…γm-1,i=1,2,…,m，

其中,χ′(ξ)是χ(ξ)=det(ξIm-Jm)的导数且s1i和sm,i分别是si的第一个和最后一个分量.

引理2[9]已知{ξ1,ξ2,…,ξm}是一组在复共轭下是封闭的复数， {η1,η2,…,ηm-1}是一组成对且互不相同的实数， 且ηi∉{ξ1,ξ2,…,ξm}， 则线性代数方程组

i=1,2,…,m.

1 子周期Jacobi矩阵的谱性质

因为Sr-1和Sr+1,n都是Jacobi矩阵， 所以这两个矩阵均有实的且互异的特征值. 因此， 考虑

σ(Sn)=λ,λ={λ1,λ2,…,λn},

σ(Sr-1)=μ(1),μ(1)={μ1,μ2,…,μr-1},

(5)

σ(Sr+1,n)=μ(2),μ(2)={μr,μr+1,…,μn-1},

引理3[6]令N1={1,2,…,r-1}， N2={r,r+1,…,n-1}，μ(1)和μ(2)如式(5)所示， 则：

2) 当且仅当μj∈μ(1)∩μ(2)时，μj∈σ(Sn),j∈N2.

引理4[6]若μ(1)∩μ(2)=∅， 且存在一个集合I={i1,i2,…,is}∈N1， 使得

则μi1,μi2,…,μis是Sn的特征值，Sn其余的特征值是有理函数

(6)

的n-s个零点.

注1上述定理中的集合I可以为空集， 此时Sn的特征值即为式(2)的n个零解.

j∈(SI1)∪((N1S)I2),

则μj,j∈I1∪I2也是Sn的特征值， 其余特征值是有理函数

(7)

的n-t-s2个零点.

注2上述定理中的集合I1或I2均可以为空集， 此时Sn的特征值可由式(7)类似得到.

定理1当μ(1)∩μ(2)=∅时， 取I={1,2,…,s}， 令λi=μi,i∈I， 将μi,i∈(N1∪N2)I升序排列， 则不等式(8)成立.

λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn,

(8)

λt+s2+1<μt+s2+1<λt+s2+2<…<μn-1<λn.

(9)

证明1)μ(1)∩μ(2)=∅，Sn的特征值满足式(6)， 即F1(λ)=0.将F1(λ)写作

其中，ci>0,i=1,2,…,n-1.对于一个充分小的正数ε，

F1(μi-ε)>0，

F1(μi+ε)<0，i=1,2,…,n-1，

F1(-∞)<0，F1(+∞)>0，

因此，λs+1<μs+1<λs+2<…<λn-1<μn-1<λn成立.

其中，ci>0,i=1,2,…,n-1， 且F2(λ)的极点为μ1,μ2,…,μt,μt+s2+1,μt+s2+2,…,μr-1,μr+t,…,μn-1， 已知μi,i∈S={1,2,…,t}和μj,j∈I1∪I2均为Sn的特征值， 不……