金雪莲，张思佳

（1.辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001；2.渤海大学 理学院，辽宁 锦州 121013）

在日常的生活生产中，系统的稳定性一直是研究的热点问题，在理论和实际问题中都扮演着重要的角色。由于在最优控制的数值计算问题中，经常要应用系统的一致指数稳定性，因此学者们对于系统是否稳定，以及不稳定的系统采用什么方法才能达到稳定等问题进行深入研究。在过去的几十年中，波方程的一致指数稳定性得到了广泛研究，本文不但解决了波方程的这个问题，而且将一些相关的结果推广到热波耦合系统中。

本文讨论了具有边界观测和同位控制的热波耦合系统的一致指数稳定性，首先对具有动态边界阻尼的热波耦合方程通过引入合适的中间变量，对其时间变量和空间变量进行降阶处理，写成与其等价的抽象微分方程的形式，接下来，在Hibert 空间上介绍了连续系统的状态空间以及定义在其上的内积和与其对应的能量空间,然后通过算子半群理论证明降阶后的方程的解存在性和唯一性,为后续引入Lyapunov 函数证明连续及离散系统的一致指数稳定性提供必要的前提和理论基础。

1 将热波方程降阶

本文研究的是如式(1)所示具有动态边界阻尼的一维热波方程，(y0,y1)是初始状态，w∈Rn是控制器 的状态，A∈Rn×n是常数矩阵，b,c∈Rn是列向量，d是正常数，y(t,x)表示弦在x∈(0,1)，t≥ 0时的位置。

设系统(1)的能量

现将系统(1)进行降阶处理，引入两个中间变量：u(t,x)=yx(t,x)，v(t,x)=yt(t,x)，进而得到与系统 (1)等价的降阶形式，即