胡亚萍，王玉杰，刘丽英

(天津科技大学理学院，天津 300457)

考虑无约束优化问题min{ f(x) |x ∈ℝn}，其中f: ℝn→ℝ为非光滑凸函数．非光滑问题中的目标函数是连续不可微函数，传统的优化算法不能直接用于求解该问题．与非光滑凸优化问题紧密相关的是目标函数Moreau-Yosida正则化[1]，正则化函数F(x)是定义在整个空间nℝ上的可微的凸函数，并且与原非光滑优化问题拥有相同的解集合．求解非光滑优化问题的常用算法有Bundle法和信赖域法[2-4]．近年来，Yuan等[5-6]和Hu[7-8]提出的梯度类算法在求解非光滑问题时表现较好．其中文献[6]基于BFGS修正技术提出的修正PRP共轭梯度法需要较大的存储空间和计算量，它每步迭代时的计算量和内存需求均大于共轭梯度类算法．本文结合Moreau-Yosida正则化和非单调线搜索技术，提出了修正的HS共轭梯度算法求解非光滑优化问题．新算法具有满足共轭性条件、自动具有充分下降性、给出近似参数选取方式、克服存储需求大与算法复杂等特点．数值结果表明，与文献[6]的算法相比，新算法具有收敛速度快、精度高的优点．

1 算 法

记p(x) =argmin {θ(z ) |z ∈ℝn}，且定义θ(z)=f(z)+ ‖z -x‖2/(2λ)，由于θ(z)是一个强凸函数，极小值点p(x)存在且唯一．于是非光滑凸函数f(x)的Moreau-Yosida正则函数F(x)表示为

正则化函数F(x)是连续可微的凸函数，但同时注意到F(x)未必二次可微．F(x)在点x处的梯度为g(x) =∇F (x) = ( x - p(x) )/λ．然而θ(z)的极小值点p(x)一般很难甚至不可能精确求解，这便不能直接利用p(x)的精确值来确定函数值F(x)和梯度值g(x)．但是对任意 x∈ℝn和任意的近似参数ε＞0，存在近似值 pα(x,ε) ∈ℝn满足

于是，可以利用pα( x,ε)来确定F(x)和……