广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

已知x=x0为函数f(x)的极值点,且f′(x0)=0,求函数f(x)中的参数a的取值范围问题是最近几年全国和各省市高考的热点问题,也是难点问题.比如2016年高考山东卷文科第20 题,2018年高考北京卷第19 题以及2018年全国III 卷的导数压轴题都对此问题进行考查,尤其是全国卷的压轴题,求解难度非常大,以至于部分教师对标准答案颇感费解.经笔者研究,针对此类问题给出常见的求解策略.

策略一:分类讨论,考虑函数的单调性

例1(2018年高考北京卷第19 题) 设函数f(x) =[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;

(Ⅱ)若f(x)在x=1 处取得极小值,求a的取值范围.

解(Ⅰ)略.(Ⅱ)f′(x)=(ax −1)(x −1)ex.

(1)当a= 0 时,令f′(x) = (1−x)ex,由f′(x) = 0 得x=1.显然f(x)在(−∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以f(x)在x=1 处取得极大值,不合题意.

(2)当a>0 时,令f′(x)=0 得x1=,x2=1.

①当x1=x2,即a=1 时,f′(x)=(x −1)2ex≤0,所以f(x)在R 上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.

②当x1>x2,即0

x (−∞,1)1(1, 1 a)1 a (1 a,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↗极大值↘极小值↗

所以f(x)在x=1 处取得极大值,不合题意.

③当x11 时,f′(x),f(x)如下表:

x (−∞, 1 a)1 a (1 a,1)1(1,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↗极大值↘极小值↗

所以f(x)在x=1 处取得极小值,即a>1 满足题意.

(3) 当a <0 时,令f′(x) = 0 得x1=,x2= 1.f′(x),f(x)如下表:

x (−∞, 1 a)1 a (1 a,1)1(1,+∞)f′(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘

所以f(x)在x=1 处取得极大值,不合题意.

综上所述,a的取值范围为(1,+∞).

点评极值点问题其本质还是单调性问题,因此只需要分类讨论弄清楚函数的单调性即可,这是解决此类问题的一个基本方法.但是,含参函数单调性的讨论也是导数中的一个难点问题,因此利用分类讨论单调性来求解此类问题往往比较复杂.

策略二:利用极值点的定义

例2若x=0 是函数的极大值点,求a的取值范围.

解

因为x= 0 是f(x) 的极大值点,则存在充分接近于0 的δ >0,使得当x ∈(−δ,0) 时,f′(x)>0,当x ∈(0,δ) 时,f′(x)<0.分 析f′(x) 的特点可知,当x ∈(−δ,0) 时,4a2x2−8ax+ 1−6a >0,当x ∈(0,δ)时,4a2x2−8ax+1−6a <0.显然a= 0 不符合要求; 当a ̸= 0 时,y= 4a2x2−8ax+1−6a为开口向上的二次函数,则此时它必然经过原点,于是1−6a=0,得,于是二次函数(x −12),显然x=0 为f(x)的极大值点.综上:a的取值范围为

点评利用极值点的定义,……