广东省深圳市前海港湾学校(518000) 李可欣

从20 世纪60年代华罗庚先生倡导数学竞赛至今,已经过去了50 多年.近年来,为了发掘和培育人才,数学竞赛活动在全世界蓬勃发展,并逐渐形成了一门特殊的数学学科——竞赛数学.竞赛数学介乎于中小学与大学教学之间,不断推陈出新,发掘新问题、新方法、新结果,将现代化的内容与趣味性的问题有机结合,把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合,在展现数学魅力的同时,利用自己所处的位置,大量地、方便地吸收最前沿的成果,大力开发同学们的数学思维,培养同学们的数学兴趣.而排列组合是高中数学人教版选修2-3 的内容,隶属组合数学,是高中数学学习的一个重难点,作为引申,在各类高中数学竞赛中也常见其身影.本文将归纳出解决竞赛数学中的排列组合问题常用的两种解法.

下面我们结合例题对排列组合解题常用的分类讨论、构造不定方程及利用递推关系三种解题策略进行展开.

1 分类讨论

分类讨论的关键在于如何分类及具体分几类,根据不同的分类方法一道题目可以有许多不同的解法.

例1 在0 和10000 之间有多少个整数恰好有一位数字是5?

令S为0 和10000 之间恰好有一位数字是5 的整数的集合.

解法一我们对S做如下划分:S1是S中的一位数的集合,S2是S中的两位数的集合,S3是S中的三位数的集合,S4是S中的四位数的集合.S中没有五位数.显然,我们有|S1|=1.S2的数很自然地分成两种类型:

(1)个位数字是5,(2)十位……