南京市第九中学(210018) 宗 园

解题背景

在数列的起始课时,学生便已经知道数列{an}前n项和Sn的概念,可用数学符号语言描述为:Sn=a1+a2+a3+···+an,这个简单的定义式衍生出了由数列的前n项和求解通项公式的通式:

在实际应用中,一方面,我们可以利用(∗)式将题目条件中的前n项和Sn消去,得到通项an,下文称此法为“消和”法; 另一方面，我们也可以反其道行之,将题目条件中的an换成Sn −Sn−1,将条件中的通项与和的关系转换成和的递推关系,下文称此法为“消项”法.

题型剖析

类型一:已知Sn =f(n),求an.

典例1已知数列{an}的前n项和Sn= 2n −3,求数列{an}的通项公式.

解题思路直接使用(∗)式求解得

易错点直接用an=Sn −Sn−1,忽视a1=S1.

变式已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a,求数列前n项和Tn.

解题思路由数列{an}为等比数列,利用前三项成等比(或等比数列前n项和的函数性质)得a=−1,首项为1,公比为2.故数列的首项为1,公比为4,得Tn=

易错点(1)忽略等比数列的前提,不求实数a的值;(2)数列的公比或首项出错.

类型二:已知Sn =f(an),求an.

典例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=(n ∈N∗),求an.

解题思路方法(1)(“消和”):由题设得

两式相减得

方法(2)(“消项”):将an+1=Sn+1−Sn代入条件式,得Sn+1−Sn=由累乘法(或由(n≤1)得数列为首项为2,公比为2 的等比数列求解的通项),得Sn=n·2n.由(∗)式求解得an=(n+1)·2n−1.

变式已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,4Sn=a1+a2+a3+···+an+1(n ∈N∗),求an.

解题思路方法(1)(“消和”):由题知4Sn−1=a1+a2+a3+···+an(n≤2),与条件式相减得4an=an+1(n≤2),又由题得a2=12̸=4a1,得an=

方法(2)(“消项”):条件等价于4Sn=Sn+1(n ∈N∗),故数列{Sn}是首项和公比均为4 的等比数列,即得Sn= 4n.由(∗)式求解得an=

类型三:已知形如p(1)a1 + p(2)a2 + p(3)a3 + ··· +p(n)an =f(n),求an.

典例3已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+···+nan=(n −1)·2n+1+2(n ∈N∗).求数列{an}的通项公式.

易错点条件式左侧联想到错位相减……