安徽省霍邱县第一中学(237499) 冯克永

高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.灵活运用是检验师生数学素养高低的试金石.处理好局部与整体的关系是逻辑推理素养的重要体现,很多师生特别关注问题的整体破解,忽视根据题目的结构特征巧用局部解题.巧用局部破整体就像是一眼活水,只要我们做一个有心人,放任局部,大胆尝试,勇于探索,常可从中攫取新的解法,提升自己的数学素养.兹举数例,以飨读者.

例1已知函数则

解析自变量成等差数列的函数值之和联想到倒序相加求和策略,需探寻f(x) +f(1−x) 的值是多少,由化局部得f(x+两式相加得= 2,进一步得到f(x)+f(1−x)=2,所以

评注化整体为局部,利用局部奇函数的特征进行两式相加,再倒序相加是破解此题的关键,很值得回味.

例2已知x≤ 0,y≤ 0,且x+y= 2,求证:x2y2(x2+y2)≤2.

解析由x≤0,y≤0,x+y= 2 得0 ≤xy≤1和x2+y2≤= 2,因不等式反向而调整,将x2y2(x2+y2)化为两个局部xy与相乘,因0 ≤xy≤1 和2,所以x2y2(x2+y2)≤2.

评注均值不等式及局部运算是破解此题的利器,师生要有强烈的局部运算意识.

例3若数列{an}满足:a1= 3,=2(n≤2),a40=81,求通项公式an.

解析直接去分母有点繁,将2 及分式分开进行局部处理得可以快速得到an+1−an=an −an−1,所以数列{an}是以3 为首项,d为公差的等差数列,由a40= 3+39d= 81 得d= 2,所以an=2n+1.

评注根据条件等式的结构特征,妙用局部获巧解,凸显局部的解题功能.

例4若函数f(x) = 2a2lnx+−x(a >0)存在两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,证明:

解析:由f′(x) == 0 有两个不等的正实根x1,x2得x1+x2=不妨令0

代入化简得k=与x1,x2不和谐,利用局部大于整体进……