李煜彦，王奇临

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南 742500)

扩张环和模的相关问题在环模理论中扮演着重要角色.称M是扩张模,如果M的任意子模是其直和因子的本质子模.众所周知,内射模、连续模和拟连续模等都是扩张模.Birkenmeier等[1]对扩张环和模进行了推广,提出了FI-扩张模的概念.称M是FI-扩张模,如果M的任意全不变子模是其直和因子的本质子模.近年来,一些作者借助于Gomez[2]引入的τ-本质子模,对扩张模进行了更广泛地推广.Charalambides等[3]提出了τ-扩张模和强τ-扩张模的概念,讨论了τ-扩张模的性质,直和分解以及若干等价刻画.Abbas等[4-5]分别研究了相关于挠理论的奇异模和非奇异模,讨论了τ-奇异模和τ-扩张模之间的紧密联系.Albu[6]利用τ-本质子模证明了Osofsky-Smith定理.Asgari等[7-10]把对扩张模的研究推广到Goldie挠理论的范畴,其中特别引入并研究了τ-FI-扩张模.李煜彦等[11-13]从挠理论的角度分别研究了Rickart模和Baer模,Rickart模和Baer模都是与扩张模有着紧密联系的模类.

受上述启发,本文提出了τ-FI-扩张模的概念,研究了τ-FI-扩张环和模的性质,给出了τ-FI-扩张模关于直和因子封闭的局部条件,证明了右τ-FI-扩张环上的某些循环模仍是τ-FI-扩张模,讨论了τ-FI-扩张模以及右τ-FI-扩张环关于本质扩张的遗传性质.

1 预备知识

引理1[3]设M是模,K,N≤M.则以下几条成立:

1)N≤τ-eM当且仅当N∈Dτ(M),且对任意0≠m∈M,N∩Rm≠0;

2)若K≤N,则K≤τ-eM当且仅当K≤τ-eN且N≤τ-eM;

3)若N≤τ-eM,则N∩K≤τ-eK;

4)若N≤τ-eM,K≤τ-eM,则N∩K≤τ-eM;

6)若N≤τ-eM,则对任意m∈M,(N:m)={r∈R|rm∈N}≤τ-eR;

7)对任意模族{Mi|i∈I},若Ni≤τ-eMi(i∈I),则⊕INi≤τ-e⊕IMi.

由文献[3，14]和[15],易得下面结论.

引理2 设K,N≤M,K是模M的直和因子.则K是N在M中的τ-补当且仅当K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM.

定义1[3]称M是τ-扩张模,如果对任意N≤τ-dM,存……