生玉秋，库俊华

(琼台师范学院 数理系,海口 571127)

首先交代本文用到的符号.用C表示复数域，用C*来表示C中所有非零元构成的集合.Mn(C)和Tn(C)分别表示复数域上所有n阶阵和n阶上三角阵构成的矩阵代数,GLn(C)表示由Mn(C)中所有可逆阵构成的集合.对方阵A来说trA表示A的迹,AT表示A的转置矩阵.用I表示单位矩阵,用Eij表示(i,j)元为1,其余元都为零的矩阵,I和Eij的型可由上下文得出.

本文属于保持问题.保持问题由来已久，矩阵代数的保持问题文献很多,Peter Semrl和李志光分别在文献[1]和[2]中详细阐述了保持问题的常见类型及各种研究方法.随着保持问题研究的逐渐深入，其研究内容也从基础域和保持性质两方面逐渐拓展(参见文献[3-4]及其中的参考文献).例如保持性质方面从保持普通矩阵乘积的特殊性质拓展到保持矩阵Jordan乘积的相关性质(文献[5-8]).Louisa Catalano和Hayden Julius在文献[9]中刻画了满足如下条件的线性双射f:Mn(C)→Mn(C)，若XY=K,则f(X)f(Y)=M,其中K，M是Mn(C)中两个固定矩阵.Louisa Catalano等在文献[8]中研究了满足如下性质的线性双射φ:Mn(C)→Mn(C)，若X∘Y=K,则φ(X)∘φ(Y)=M,其中K，M是Mn(C)中两个固定矩阵.在此条件下，取K=M=I,若Y是X的一个Jordan逆，则φ(Y)是φ(X)的一个Jordan逆.Marcus和Purves在文献[10]中证明了Mn(C)上每一个保可逆的线性映射是一个内自同构或内反自同构.这个结果后来被推广到了其他代数上(参见文献[11-12]).本文研究矩阵代数的保Jordan可逆性的映射，即研究满足如下性质的线性映射φ:Λ→Λ，对每一个X∈Λ，存在矩阵Y∈Λ使得X∘Y=I当且仅当存在矩阵Z∈Λ使得φ(X)∘Z=I，其中Λ指M2(C)或T2(C).但若X∘Y=I，并不要求有φ(X)∘φ(Y)=I.高阶Jordan可逆矩阵的形式比较复杂，因此本文在二阶矩阵代数……