不倒塔的实验探究

2021-06-01李可妤

物理实验 2021年5期

李可妤，徐蕾，钟鸣

(南京师范大学物理科学与技术学院，江苏南京 210023)

在演示平衡和惯性的实验中，有一类非常有趣的实验，例如，把硬币一个个叠起，看看谁能使叠的硬币伸出底面最多？把硬币堆叠成直立的塔，快速击打最下层的硬币，看看谁能保证上层的塔不倒？在有趣的实验现象和定性解释背后，保持平衡的条件究竟和哪些因素有关，值得更为深入的探讨. 为此，设计了不倒塔的实验装置，通过实验进行定量探究.

1 实验设计与原理

1.1 实验装置设计

首先搭建整体装置，把几个相同的圆盘上下整齐地叠放在桌面上，形成直立的塔. 考虑到直接击打较难准确控制力的大小、方向以及作用时间，采用了替代方法：将轻绳一端连接重物瓶，穿过定滑轮后连接到最底层的圆盘上,如图1所示.

图1 实验装置示意图

通过突然释放重物瓶来等效替代击打最底层的圆盘，可以通过改变重物瓶的质量以改变突然施加的水平力的大小，降低测量的难度，保证可重复性.

1.2 实验现象

在实验中可以观察到，当塔层形状相同时，改变瓶中重物的质量会影响最下层塔抽出的时间，进而影响塔是否能够保持直立不倒. 当外加水平力越大，抽取时间越短，上方的塔身受到的影响就越小，塔越能保持稳定.

以地面为参考系，建立二维平面xy坐标系，其中x方向为水平方向，y方向为竖直方向. 标记每层塔的中心位置，拍摄实验视频，采用Tracker软件记录数据，对层数为4的塔的整体运动情况进行分析.

图2为各圆盘的x和y方向的位移随时间的变化情况. 由图2可以看出，在x方向上，同一塔中各个圆盘最终会发生错位，低层的圆盘x方向的位移更大；在y方向上，曲线前段较光滑部分表示自由下落过程，后由于碰撞地面引起微小扰动.

1.3 原理分析

将最下面的圆盘称为底层圆盘,上面的圆盘整体称为塔身，并且对塔身的每个圆盘从下到上进行编号1，2…N. 将塔的运动过程分为3个阶段：接触阶段、自由下落阶段和碰撞阶段，接下来将分阶段描述塔的运动情况.

(a)x方向位移

(b)y方向位移图2 x和y方向塔的整体运动情况图

1.3.1 接触阶段

接触阶段从突然施加的水平力作用于底层圆盘开始，到塔身脱离最底层圆盘结束，构成塔身的圆盘彼此之间没有相对位移，塔身可视为刚体. 这一阶段又分为2个过程，如图3所示.

(a) (b)图3 接触阶段示意图

1)当底层圆盘与塔身脱离距离小于圆盘半径R，塔身不发生倾斜. 底层圆盘受到的力有重力、塔身给予的摩擦力与压力、桌面给予的支持力与摩擦力；塔身受到的力有重力、底层圆盘给予的支持力与摩擦力.

底层圆盘的水平方向运动方程为

(1)

塔身作为整体(刚体)的运动方程为

(2)

其中，m为单个圆盘的质量，R为圆盘半径，M为悬挂重物的质量，x底为底层圆盘的x方向位移，x塔为塔身的x方向整体位移，μ为圆盘与圆盘之间的摩擦因数，μ0为底层圆盘与桌面的摩擦因数.

2)当底层圆盘与塔身脱离距离大于半径R，此时塔身会绕着接触点进行转动. 在实验过程中，倾斜角度较小，并且这一过程持续时间较短，因此，可以近似认为底层圆盘的受力恒定，此时底层圆盘的运动方程仍为式(1)，塔身的运动为平动与绕接触点的转动的合成，平动的运动方程仍为式(2). 绕接触点的转动方程为[1]

(3)

其中，J为转动惯量，θ为倾斜角度，h为单个圆盘高度，其值为

(4)

其中Δx表示接触点到塔身底边中点的距离，满足以下条件：

(5)

1.3.2 自由下落阶段

自由下落阶段如图4所示，从塔身与地面脱离为开始，到塔身触碰地面结束. 塔身只受到重力作用，作为整体进行运动. 将这一运动进行分解，可以分为质心的抛体运动与整体绕质心轴的转动. 并且转动的初始角速度ω来自接触阶段，在自由下落阶段，质心轴合力矩为0，因此是角速度为ω的匀角速转动. 用Δy表示圆盘下端离地面的竖直距离，满足以下方程：

图4 自由下落阶段示意图

(6)

其中，θ0为初始倾斜角度，φ为其余圆盘的对角，即

(7)

1.3.3 碰撞阶段

碰撞阶段从塔身接触地面开始，到塔身部分的各个圆盘相对地面静止结束. 由于碰撞等复杂的运动，最后塔身部分的各个圆盘会在x方向上产生错位，如图5所示. 当圆盘间相对位移在一定范围内，塔不会倒塌；当相对位移超出某一临界值时，塔会倒塌. 而关于这一临界判断条件，将在后面进行讨论.

(a)碰撞地面 (b)最终状态图5 碰撞阶段示意图

碰撞阶段初始时的各个圆盘的速度：

(8)

(9)

其中，θ落为塔身刚落到地上的倾斜角度，n为第n个圆盘的编码，N为塔身的总圆盘个数.vx，vy分别为整体运动时质心的速度，经历前2个阶段之后其值分别为

(10)

vy=gt阶段2,

(11)

碰撞到地面后，各个圆盘的速度与碰撞系数有关[2]：

vny=vny初[en-1e0-eN-n],

(12)

(13)

其中，e为圆盘之间的碰撞系数，e0为圆盘与地面间的碰撞系数.

自接触地面开始，各圆盘均以下端接触地面的点为转轴，完全落地后可认为倾斜角度约等于落地瞬间整体的倾角，各层圆盘在x方向产生的位移为

(14)

与地面碰撞后x方向产生位移为

(15)

落地后仅有x轴方向的运动，塔层间相互锁定，受摩擦力作用直到vnx=0,

(16)

圆盘之间最终的相对位移为[3]：

xn=xn1+xn2+xn3.

(17)

1.3.4 塔是否倒塌的判据

显然，当圆盘间相对位移在一定范围内，塔不会倒塌；当相对位移超出某一临界值时，塔会倒塌. 接下来根据堆塔原理(图6)建立塔是否倒塌的判断函数[4-8].

图6 堆塔原理示意图

xcN-n-xn

(18)

(19)

同时满足这2个条件，塔不会倒塌.

通过以上分析，可以用Matlab对运动的3个阶段进行数值模拟，最终将实验结果和数值模拟结合，得到相关参量和塔稳定性之间的关系.

2 实验探究

2.1 实验器材

器材包括电子天平、定滑轮、鱼线、重物瓶、小圆珠、不同规格的亚克力圆盘以及不同粗糙程度的磨砂纸，如图7所示.

(a)实验装置 (b)不同规格的亚克力圆盘图7 实验器材图

2.2 对影响塔稳定性相关参量进行实验探究

根据上述理论分析，设计了一系列控制变量实验，分别改变圆盘的层数N、圆盘的半径R、单个圆盘的高度h、圆盘与地面间的摩擦因数μ0以及圆盘间的摩擦因数μ，探究影响塔保持直立的条件，如图8所示.

图8 相关参量图例

2.2.1 圆盘层数N和塔稳定性的关系

采用R=1.5 cm，h=1.5 cm的圆盘进行实验，其他条件不变，改变圆盘的层数. 可以看出随着塔层数的增加，需要施加悬挂物的临界质量呈上升趋势. 即层数越大，所需悬挂物的质量越大才能保证塔不倒塌，层数越高的塔越不稳定. 在实验中还发现，当N=7时，所需悬挂物的临界质量会骤然增加，这是由于层数的增大，圆盘间的相互影响会导致更大的不稳定性.

图9(b)中绿线为Matlab模拟的结果，取0.01为步长，通过数值计算得到临界的质量，与实验进行对比，可以看出模拟和实验结果符合得很好. 而对于任意一组控制变量实验，使用的悬挂物的质量最小为1.5 g，通过不断增加悬挂物的质量来寻找能够使塔不倒的临界质量.

(a)实验结果图

(b)模拟和实验对比图图9 圆盘层数和塔稳定性关系

2.2.2 圆盘的半径R和塔稳定性的关系

采用层数为4层，h=1.5 cm的圆盘进行实验，其他条件不变，改变圆盘的半径R,实验曲线如图10所示. 实验发现，当圆盘半径在一定范围内时，圆盘的半径越大，需要施加悬挂物的临界质量呈下降趋势，即半径越大塔越稳定；但当半径超过某一临界值时，抽出底层圆盘的位移变大，抽出时间也会越长，需要施加悬挂物的临界质量呈上升趋势，塔越难以保持直立，稳定性越差. 也就是说圆盘存在最优半径，模拟结果显示其最优值为2.15 cm. 当半径超过最优值时，其余圆盘与底部圆盘的的接触时间增加，其获得的角速度与倾斜角度增大，塔难以保持直立.

图10 圆盘半径和塔稳定性关系的模拟和实验对比图

2.2.3 单个圆盘高度h和塔稳定性的关系

采用层数为4层，R=1.5 cm的圆盘进行实验，其他条件不变，改变圆盘的高度h，实验图像如图11所示. 可以看出随着单个圆盘高度的增加，需要施加悬挂物的临界质量呈上升趋势. 即单个圆盘高度越高的塔越不稳定. 从定性的角度分析，塔重心越高越不稳定，因此需要更大的临界质量来缩减对其余圆盘的影响时间.

图11 单个圆盘高度和塔稳定性关系的模拟和实验对比图

2.2.4 圆盘与地面间的摩擦因数μ0和塔稳定性的关系

控制其余变量不变，仅改变圆盘与地面接触面的摩擦因数μ0，实验图像如图12所示. 发现圆盘与地面间的摩擦因数μ0越小，所需施加悬挂物的临界值量就越小，塔稳定性越好. 从这一实验看，地面的摩擦因数对塔产生的是负影响. 由于摩擦力的增大，为了控制抽取时间，所需的临界质量也会相应增大.

2.2.5 圆盘间的摩擦因数μ和塔稳定性的关系

控制其余变量不变，仅改变上层圆盘间的摩擦因数μ，实验图像如图13所示. 可以发现，在一定范围内时，圆盘间的摩擦因数越大，需要施加悬挂物的临界质量呈下降趋势；当摩擦因数超过某一临界值时，需要施加悬挂物的临界质量又会增加. 考虑到摩擦因数较小，导致在第三阶段塔层间相互锁定时，vnx需要较长时间才能减为0，圆盘间的相对位移反而超过堆塔原理所要求的临界距离，导致塔更加难以保持不倒.