杨冬成

（江苏联合职业技术学院，江苏 盐城 224001）

目前，在许多领域中数学模型都可以用偏微分方程来描述。同时许多重要物理和力学的基本方程本身就是偏微分方程，例如热传导方程[1，2]。随着物理科学研究现象在广度和深度上的扩展，偏微分方程的应用范围更加广泛[3−5]。从数学自身的角度来看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各个方面进行发展[6]。分数阶微积分是近十几年的研究热点，例如一些由分数阶微分方程表示的问题比起用经典微分方程表示更深刻、更贴合实际[7]。分数阶微积分隐隐有取代经典微积分之势。而本研究主要使用不同的方法对一个分数阶偏微分方程予以求解，并对所用方法予以比较。

1 热传导方程求解方法原理

1.1 分离变量法原理

分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个常微分方程，其中该方程只含一个变量。将方程中含有各个变量的项分离开来，并将原方程拆分成两个或多个更简单的只含有一个自变量的常微分方程。再运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。边值问题变量x的取值范围总可以规范化为[0,1]。分离变量法只能对齐次边值条件直接求解，非齐次边值条件需要通过变换转化为齐次边值条件（可参考文献[1]）。此处以方程(1)(fi(t)=0,i=1,2,g=0)为例说明该方法。

令u(x,t)=X(x)T(t)，即假设方程(1)的未知函数具有变量分离的特点。代入方程(1)中得到