周艺璇

(四川民族学院 理工学院，四川 康定 626000)

在高等数学中，Taylor定理是最重要的定理之一，本质上是用相对简单的多项式函数逼近较复杂的一般函数。在求极限、求导数、求积分、不等式证明、函数性态分析、判定级数敛散性以及近似计算等方面都有着重要应用[1-4]。同时，它也是数值分析、常微分方程、最优化理论等数学分支的重要理论基础。Taylor定理高度的抽象性、严密的逻辑性往往使得初学者望而生畏。为了帮助学生理解和掌握Taylor定理，适当演绎和证明Taylor定理是非常必要的。

1 多项式逼近函数问题

由微分在近似计算中的应用可知，若f(x)在x0处可导，则

f(x)=f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)+o(x-x0)。

其中f(x0)+f(1)(x0)(x-x0)可以看作一次多项式P1(x)，从而有f(x)=P1(x)+o(x-x0)。若忽略高阶无穷小，则可以用来P1(x)逼近f(x)。谢惠民教授在《数学分析习题课讲义》[5]中以例题6.1.3为例，严格证明了：与任意线性函数相比，P1(x)总能找到x0的某个邻域U(x0)，使之与f(x)的差值更小。因此，在一次多项式中，用P1(x)来逼近f(x)是最优的。这也是高等数学教材选择用微分近似公式引入的原因。

事实上，多项式的优势是很明显的，它只涉及加法、乘法和减法三种运算，并且求导、求值都很方便。因此，如何利用多项式来描述一个给定的函数就是我们接下来逼近问题的重点。

通过对P1(x)与P2(x)进行对比分析，我们发现为了进一步提高精度，n次多项式Pn(x)首先得具有与P1(x)和P2(x)类似的构造，其次它的各阶导数都存在。于是假设f(x)在x0处n阶可导，是否存在n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，使得f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n)?下面我们说明Pn(x)的存在性和唯一性。

为了验证求得Pn(x)的逼近f(x)的效果，选择验证Pn(x)逼近f(x)所产生的误差也就是f(x)-Pn(x)是否是o((x-x0)n)是最为直接且方便的方法。……