黄 春

(四川职业技术学院 教师教育系，四川 遂宁 629000)

近年来，分数阶偏微分方程在量子力学、通信、控制理论、流体力学、等离子体物理等众多领域有着广泛的应用，寻找分数阶偏微分方程的精确解一直以来是数学工作者的重要研究课题.构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：exp-函数法[1-3]、(G’/G)-展开法[4-6]、F-展开法[7-8]、首次积分法[9-12]等。

考虑如下空时分数阶Phi-4方程[13-16]：

(1)

(2)

它具有如下性质：

(3)

(4)

(5)

(6)

空时分数阶Phi-4方程是一类重要的数学模型，在粒子物理和核物理中占有重要的地位.本文拟用Riemann-Liouville分数阶导数与首次积分法相结合，得到空时分数阶Phi-4方程的新精确解.

1 方法简述

定理1.1(除法定理)[19]假设P(w，z)，Q(w，z)是复数域C(w，z)上的多项式，并且P(w，z)在C(w，z)上是不可约的.如果Q(w，z)包含P(w，z)的全部零点，那么在复数域C(w，z)上存在一个多项式G(w，z)使得

Q(w，z)=P(w，z)G(w，z)

(7)

下面是首次积分法求解分数阶偏微分方程的主要步骤.考虑如下分数阶偏微分方程：

(8)

步骤1 作复变换

(9)

这里k，c为常数.

将(9)式代入方程(8)中，方程(8)转化为只含变量ξ的常微分方程：

(10)

步骤2引入两个新的独立变量X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)，则方程(10)等价于一阶常微分方程组

(11)

步骤3设(11)式的首次积分形式为：

(12)

这里ai(X)(i=0，1，2，…，m)是实数域上的待定多项式.根据除法定理，存在实数域上的多项式g(X)，h(X)，使得

(13)

由(13)式可以确定多项式g(X)，h(X)，进而求出Q(X，Y)

步骤4将X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)代入(12)式，解之即得到方程(8)的精确解.

2 运用与结果

对方程(1)作复变换，方程(1)转化为整数阶常微分方程：

(14)

令X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)则方程(14)等价于

(15)

由首次积分法，假定X(ξ)和Y(ξ)是方程(16)的非平凡解，则方程组(15)的首次积分形式为

(16)

其中ai(X)(i=0，1，2，…，m)关于……