刘慧琴

(闽南理工学院信息管理学院，福建 石狮 362700)

1 预备知识

定义1设D={z:|z|<1}表示复平面上的单位圆盘。

定义3定义LB是对数Bloch空间。如果

则f∈LB。

‖f‖LB是一个半范数(‖f‖L=|f(0)|+‖f‖LB)，所以LB是一个Banach空间。

定义4设φ是D上的解析自映射，即φ∈S(D)，那么将H(D)上的复合算子定义为Cφ(f)=f(φ(z))，f∈H(D)，z∈D。显然Cφ是线性算子。

定义5令g∈H(D)，对每个H(D)中的函数f，将Volterra型算子Jg，Ig分别定义为

定义6定义Volterra型算子和复合算子的积如下:

在文献[2]中作者讨论了从单位圆盘上H∞空间和Bloch空间到单位圆盘上的Zygmund型空间上的Volterra 型算子与复合算子的积的有界性和紧性。根据其研究思路和方法，思考如果换到其他空间上来研究Volterra 型算子与复合算子以及这两种算子的积，能否得到这些算子有界性的条件呢？充分必要条件是否都能够得出呢？在文献[3]中已定义了新的空间：对数Bloch空间LB和小对数Bloch空间LB0，然后得到了在LB和LB0上Volterra型算子和复合算子的积的有界性之间的关系。在此基础上本文将首先研究Volterra型算子和复合算子的积分别在对数Bloch空间上和小对数Bloch空间上有界性的充要条件，然后进一步推导出在对数Bloch空间上和小对数Bloch空间上Volterra型算子和复合算子各自的有界性的充要条件。

2 主要结论

引理1[4]假定f∈LB，则

引理4令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。如果CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB0上的一个有界算子，则CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB上的有界算子。

证明此引理已在文献[3]中的定理2给出证明。

这里，先研究算子CφJg(或JgCφ):LB(或LB0)→LB(或LB0)的有界性。

定理1令g∈H(D)，φ是D上的解析自映射。则以下结论成立：

1)CφJg:LB→LB是有界的当且仅当

(1)

2)CφJg:LB0→LB0是有界的当且仅当

(2)

证明1)假定CφJg:LB→LB是有界的。固定ω∈D，令

(3)

因此式(1)成立。

反过来，假定式(1)成立。……