马晓跃，武新乾

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)

0 引言

考虑异方差非参数回归模型

yt=m(xt)+σ(xt)εt,t=1,…,n，

(1)

其中:xt=t/n为固定设计点;yt为响应变量;{εt}为随机误差序列，满足E(εt)=0，E(εt2)=1。

已有众多学者对非参数回归模型进行了研究[1-11]。样条方法是一种常见的非参数估计方法，与局部方法相比具有一定的优越性。对于同方差情形，文献[12]在误差是β-混合和α-混合条件下，讨论了均值函数B-样条估计的全局收敛速度和一致收敛速度。文献[13]在线性过程误差下，讨论了回归函数样条估计的逐点相合性，并得到其逐点收敛速度。对于异方差情形，文献[14]在α-混合条件下对模型(1)中均值函数和方差函数进行了估计，并给出了估计量的最优全局收敛速度和一致收敛速度。文献[15]在α-混合条件下，推导出条件方差函数样条估计的一致收敛速度。文献[16]构造了误差方差的多项式样条估计，证明了估计量的相合性。文献[17]在α-混合条件下，讨论了均值函数和方差函数样条估计的逐点相合性，并得到估计量的逐点收敛速度。

上述研究对方差函数的样条估计主要使用的是直接方法。残差方法也是方差函数估计的常用方法，该方法在非参数回归中已有应用[18-19]。为了探究方差函数基于残差的样条方法的估计效果，本文对残差方法进行了进一步研究。

1 多样式样条估计

不失一般性，本文将区间D=[0,1]进行等距分割，节点序列为：

0=t0

构造相应m次的样条函数空间Sk,m，其基函数记为Bks(x)(s=1,…,m+k+1)，记K=m+k+1。则m(x)的多项式样条估计为：

(2)

y=(y1,…,yn)T，

下面使用m(x)的多项式样条估计mk(x)对误差方差σ2(x)进行估计。……